51 Weg zur Matura Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben In der nebenstehenden Abbildung ist eine bestimmte Wandfläche dargestellt. Diese Wandfläche ist modellhaft durch die beiden Achsen, durch die Gerade x = 12und durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = a · x 3 − 1 _ 4 · x 2 + 5 _ 4 · x + 4 mit a ∈ ℝ begrenzt (x, f(x) in m). a) Die Funktionen F 1und F2 sind Stammfunktionen von f. Es gilt: F 1(1) = 109 _ 24 1) Stelle mithilfe von a eine Funktionsgleichung von F 1 auf. Der Flächeninhalt A der Wandfläche soll mithilfe von F 2berechnet werden. 2) Gib mithilfe von F 2 einen Ausdruck an, mit dem A berechnet werden kann. b) Der linke Teil der Wandfläche soll bis zur Geraden x = cmit c ∈ (0; 12)blau gefärbt werden. Man hat Farbe für 20 m2 zur Verfügung. Es gilt: a = 3 _ 230 1) Berechne c. 2) Berechne, wie viel Prozent der gesamten Wandfläche blau gefärbt ist. In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph der Exponentialfunktion f mit f(x) = 5 · b x mit b ∈ (0; 1) dargestellt. Es soll der Flächeninhalt, der vom Graphen von f mit der x-Achse im Intervall [0; 4] eingeschlossen wird, angenähert werden. a) Der Flächeninhalt soll durch 4 gleich breite Rechtecke angenähert werden. Die entsprechende Untersumme wird mit U 4, die entsprechende Obersumme mit O 4bezeichnet. 1) Gib mithilfe von b einen Term zur Berechnung von U 4 an. 2) Ermittle den Parameter b so, dass O 4 − U 4= 1gilt. b) Der Flächeninhalt soll durch 2 gleich breite Rechtecke angenähert werden. 1) Skizziere die entsprechende Unter- und Obersumme in der obigen Abbildung. Mit A 1 wird das arithmetische Mittel der Flächeninhalte der beiden Rechtecke in [0; 2] bezeichnet. Mit A2 wird das arithmetische Mittel der Flächeninhalte der beiden Rechtecke in [2; 4]bezeichnet. 2) Begründe, ob die nachstehende Gleichung richtig ist. 1 _ 2 · : 0 4 f(x)dx = A 1 + A 2 _ 2 M2 137 K AN-R 4.2 AN-R 3.1 AN-R 4.3 AN-R 4.3 M 138 x f(x) 4 0 f AN-R 2.1 AN-R 4.1 AN-R 2.1 AN-R 4.1 AN-R 4.1 AN-R 4.1 x f(x) 12 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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