48 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Berechnung von Flächeninhalten 2 Zusammenfassung Ober- und Untersummen Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Zerlegt man das Intervall [a; b] in n gleich große Teilintervalle der Breite ∆ x = b − a _ n und bezeichnet mit m1, m 2, …, mndie Minimumstellen und mit M 1, M 2, …, Mn die Maximumstellen von f in den einzelnen Intervallen, dann nennt man º U n = ∆x·f(m 1) + ∆x·f(m 2) + … + ∆x·f(m n) = ; i = 1 n ∆ x · f(m i) Untersumme von f in [a; b]. º O n = ∆x·f(M 1) + ∆x·f(M 2) + … + ∆x·f(M n) = ; i = 1 n ∆ x · f(M 1) Obersumme von f in [a; b]. Das bestimmte Integral Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann kann das Integral von f in [a; b]als Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden. Es gilt: ; i = 1 n f(x i) ·∆x = : a b f(x)dx für n → ∞ Das bestimmte Integral : a b f(x)dxist jener Wert, der zwischen allen Unter- und Obersummen von f in [a; b] liegt. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Dann gilt: (1) Es existiert eine Stammfunktion F von f. (2) : a b f(x)dx = F(b) − F(a) Rechenregeln für bestimmte Integrale Für zwei auf [a; b] stetige Funktionen f und g, eine Stammfunktion F von f und eine reelle Zahl k ≠ 0gilt: Summen- und Differenzenregel: Regel vom konstanten Faktor: Konstantenregel: : a b (f(x) ± g(x))dx = : a b f(x)dx ± : a b g(x)d x : a b k · f(x)dx = k · : a b f(x)d x : a b f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x)| a b Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale (1) : a b f(x)dx + : b c f(x)dx = : a c f(x)d x (2) : a b f(x)dx = − : b a f(x)dx (3) : a a f(x)dx = 0 Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen Seien f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen mit f(x) ≥ g(x) für alle x ∈ [a; b], dann berechnet man den Flächeninhalt, der von den beiden Graphen von f und g im Intervall [a; b] begrenzt wird, durch: A = : a b [f(x) − g(x)]d x Das uneigentliche Integral Integrale der Form lim b→∞ : a b f(x)dxbzw. lim a→−∞ : a b f(x)dxwerden uneigentliche Integrale genannt. Existiert der Grenzwert, dann schreibt man: lim b→∞ : a b f(x)dx = : a ∞ f(x)dx bzw. lim a→−∞ : a b f(x)dx = : −∞ b f(x)d x x y a b f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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