47 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Berechnung von Flächeninhalten Gegeben sind die beiden Funktionen f mit f(x) = − x 2 + 9und g mit g(x) = x 2 − 9. Begründe, dass man den Flächeninhalt, den die beiden Funktionsgraphen miteinander einschließen, mit der Formel 4 · : −3 0 f(x)dxberechnen kann. Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale Integrale der Form lim b→∞ : a b f(x)dxbzw. lim a→−∞ : a b f(x)dxwerden uneigentliche Integrale genannt. Existiert der Grenzwert, dann schreibt man: lim b→∞ : a b f(x)dx = : a ∞ f(x)dx bzw. lim a→−∞ : a b f(x)dx = : −∞ b f(x)d x Berechne den Flächeninhalt, den der Graph von f mit f(x) = 1 _ x 2 für x ≥ 2mit der x-Achse einschließt. Es wird der Grenzwert von lim b→∞ : 2 b f(x)dxberechnet: lim b→∞ : 2 b x −2 dx = lim b→∞ (− x −1| 2 b) = lim b→∞ (− 1 _ b + 1 _ 2) = 1 _ 2 Anmerkung: Es ist zu beachten, dass es keinen Grenzwert geben muss. Bei uneigentlichen Integralen ist es auch möglich, dass beide Integrationsgrenzen im Unendlichen liegen bzw. dass die Funktion an einer Integrationsgrenze nicht definiert ist. Diese Fälle werden hier allerdings nicht behandelt. Berechnung eines uneigentlichen Integrals einer Funktion f in [a; ∞] Geogebra: Integral[f, a, ∞] Beispiel: Integral[1/x2, 2, ∞] TI-Nspire: : a ∞ f(x) dx Beispiel: : 2 ∞ 1/x2 dx Casio: ∫ (f(x), x, a, ∞) Beispiel: : 2 ∞ 1 _ x 2 dx = 0,5 Berechne das uneigentliche Integral. a) : 2 ∞ − 2 _ x 2 dx c) : −∞ −3 2 _ x 2 dx e) : 3 ∞ e −x dx g) : 0 ∞ − 3 e −x dx b) : 1 ∞ 3 _ x 3 dx d) : −∞ −1 3 _ x 3 dx f) : 4 ∞ e −2 x dx h) : −∞ 1 − 2 e 2 x dx AN-R 4.3 M1 126 Merke Muster 127 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 –1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 f Technologie Ó Anleitung Uneigentliches Integral hu958w 128 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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