45 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Berechnung von Flächeninhalten Zuerst wird der größere Flächeninhalt berechnet (rot): : a b f(x)dx Anschließend wird der kleinere Flächeninhalt berechnet (blau): : a b g(x)dx Den gesuchten Inhalt der grünen Fläche erhält man nun durch Subtraktion der beiden Ergebnisse: A = : a b f(x)dx − : a b g(x)d x f g x y a b f g x y a b f g x y a b Der Ausdruck A = : a b f(x)dx − : a b g(x)dxkann zu A = : a b (f(x) − g(x))dxvereinfacht werden. Man bildet die Differenz aus den Flächeninhalten unter der „oberen“ und der „unteren“ Funktion. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen Seien f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen mit f(x) ≥ g(x)für alle x ∈ [a; b]. Dann berechnet man den Flächeninhalt, der von den beiden Graphen von f und g im Intervall [a; b] begrenzt wird, durch: A = : a b [f(x) − g(x)]d x Beweis: Sind die Funktionswerte von f und g in [a; b] positiv, so ist der obige Satz klar (vgl. Abbildungen oben). Sind Funktionswerte von f oder g in [a; b] negativ, so kann man in Gedanken beide Funktionen um c Einheiten nach oben verschieben: A = : a b [f(x) + c]dx − : a b [g(x) + c]dx = : a b [f(x) + c − g(x) − c]d x A = : a b [f(x) − g(x)]dx ⇒ Flächeninhalt bleibt gleich Flächeninhalt zwischen f und g in [a; b] mit f(x) ≥ g(x)für alle x ∈ [a; b] Geogebra: IntegralZwischen[f, g, a, b] TI-Nspire: : a b (f(x) – g(x)) dx Casio: Funktionen im Grafikfenster zeichnen; Befehl: ∫dx Schnittpunkt oder ∫(f(x) – g(x), x, a, b) Berechne den Flächeninhalt, der von den Graphen der beiden Funktionen f und g begrenzt wird. f(x) = x 3 − 3 x 2+ 2 g(x) = x − 1 Für die Integrationsgrenzen: x-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen: f(x) = g(x) ⇒ x 3 − 3 x 2 + 2 = x − 1 ⇒ x 1 = − 1 x 2= 1x3 = 3 In [− 1; 1] liegt der Graph von f „über“ dem Graphen von g und in [1; 3] der Graph von g „über“ dem Graphen von f ⇒ A = : −1 1 (f − g)dx + : 1 3 (g − f)dx = : −1 1 (x 3 − 3 x 2 + 2 − x + 1)dx + : 1 3 (x − 1 − x 3+ 3 x2 − 2)dx = = : −1 1 (x 3 − 3 x 2 − x + 3)dx + : 1 3 (− x 3+ 3 x2 + x − 3)dx = 4 + 4 = 8 Merke x y a c c b f + c f g + c g Ó Technologie Anleitung Flächeninhalte zwischen f und g 4j7773 Technologie Muster 118 x 1 2 3 4 –2 –1 1 2 –3 –2 –1 0 f g y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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