43 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Berechnung von Flächeninhalten Gegeben ist die Funktion f. Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt und skizziere den Graphen von f sowie den gesuchten Flächeninhalt. a) f(x) = x 2 − 2 x − 3 d) f(x) = x 3 − 9 x g) f(x) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 b) f(x) = x 2 − 11 x + 18 e) f(x) = − x 3 + 2 x2 + 8 x h) f(x) = x 3 − 4 x 2 − x + 4 c) f(x) = − x 2 + 1 f) f(x) = 1 _ 10 · (x 3 + 6 x2 − 7 x) i) f(x) = x 3 − 5 x 2 − 4 x + 20 Gegeben sind die Funktion f und das Intervall [a; b]. Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im gegebenen Intervall einschließt. a) f(x) = − 2x+4 [0; 4] d) f(x) = x 2 − x − 12 [− 5; 1] b) f(x) = − 6x+2 [− 1; 3] e) f(x) = x 3 − 36 x [− 7; 0] c) f(x) = 1 _ 2 (x 2 − 2 x − 8) [− 3; 2] f) f(x) = x 3 − 5 x 2 − 14 x [− 2; 1] Der Flächeninhalt eines Kirchenfensters kann durch den Flächeninhalt, den der Graph von f im gegebenen Intervall mit der x-Achse einschließt, modelliert werden. Berechne den Flächeninhalt des Fensters. a) f(x) = x 2 + 3 [− 4; 4] b) f(x) = 2 x2 + 1 [− 3; 3] Gegeben ist die Funktion f. Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. a) f(x) = x 3 − x 2 − 8 x + 12 c) f(x) = x 4 − 18 x 2 + 81 b) f(x) = x 4 − 9 x 2 d) f(x) = x 4 + 9 x3 + 23 x2 + 3 x − 36 Tipp: Bei dieser Aufgabe kann man den Flächeninhalt mit nur einem Integral berechnen. Gegeben ist die Funktion f. Bestimme den Parameter a so, dass der Graph von f in [0; a] mit a > 0den Flächeninhalt A mit der x-Achse einschließt. a) f(x) = x + 3 A = 20 c) f(x) = 0,5 x2 A = 7,5 e) f(x) = 9 _ x A = 18 b) f(x) = − 4 x + 8 A = 7,5 d) f(x) = 0,25 x3 A = 81 f) f(x) = 0,2 x5 A = 522 Gegeben sind die Funktion f und das Intervall [a; b]. Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im gegebenen Intervall einschließt. a) f(x) = 9 _2x+3 [− 1; 4] c) f(x) = x·e2 x [− 1; 2] e) f(x) = 2 x · sin(3 x) [0; 2] b) f(x) = 3 9 _ − 2x+4 [0; 4] d) f(x) = − 3 x · e −4 x [− 1; 2] f) f(x) = − 3 x · cos(2 x) [0; 2] Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A ist der Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. A : −3 2 f(x)dx < : −2 2 f(x)dx B A = : −3 2 f(x)dx C : −3 −2 f(x)dxist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse in [− 3; − 2]. D : −2 2 f(x)dx < 0 E : −3 −2 f(x)dx < 0 109 110 111 112 113 114 Ó Arbeitsblatt Flächenberechnungen – Maturaformate h9qe2h AN-R 4.3 M1 115 x f(x) 1 2 3 4 5 –5–4–3–2 –1 5 10 –15 –10 –5 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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