42 2.4 Berechnung von Flächeninhalten Lernziele: º Den Flächeninhalt berechnen können, den ein Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt º Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse Wie in 2.2 gezeigt, ist das bestimmte Integral als eine Summe von Produkten der Form ; i f(x i) · ∆ x interpretierbar. Nimmt eine Funktion in einem Intervall keine negativen Werte an, so kann man das bestimmte Integral ohne Probleme zur Flächenberechnung verwenden. Nimmt eine Funktion f (vgl. Abbildung) sowohl positive als auch negative Werte in einem Intervall an, kann der Flächeninhalt in diesem Intervall auf folgende Art berechnet werden: 1) Es werden alle Nullstellen von f in [a; b]bestimmt. Die Funktion f besitzt die Nullstellen c und d in [a; b]. 2) An der Skizze von f erkennt man: A 1und A3liegen im positiven, A2im negativen Bereich. 3) Durch Berechnung des Integrals : a b f(x)dxerhält man den Wert A1 − A 2 + A 3und somit nicht den gesuchten Flächeninhalt. Man muss also jeden Flächeninhalt einzeln berechnen und negative Integrale „positiv machen“. Den gesuchten Flächeninhalt könnte man z.B. auf folgende Arten berechnen: A(a; b) = : a c f(x)dx − : c d f(x)dx + : d b f(x)dx (= A 1 − (− A 2) + A 3 = A 1 + A 2 + A 3) A(a; b) = : a c f(x)dx + |: c d f(x)dx| + : d b f(x)dx (= A 1 + | − A 2| + A 3 = A 1 + A 2 + A 3) Anmerkung: || sind Betragsstriche. Ein negatives Ergebnis wird dadurch positiv. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 _ 4 · (x 3+ 4 x2 − 20 x − 48). Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. Zuerst werden die Nullstellen entweder durch Polynomdivision oder mithilfe von Technologie berechnet: 0 = f(x) 1 _ 4 · (x 3+ 4 x2 − 20 x − 48) ⇒ x 1 = − 6 x 2 = − 2 x 3 = 4 Mithilfe der Zeichnung erkennt man, dass die zweite Fläche im negativen Bereich liegt. Es gilt daher: A(− 6; 4) = : −6 −2 1 _ 4 · (x 3+ 4 x2 − 20 x − 48)dx+ + | : −2 4 1 _ 4 · (x 3+ 4 x2 − 20 x − 48)dx| = 21,3 + | − 63| = 21,3 + 63 = 84,3 Kompetenzen x f(x) b d a c 0 f A1 A2 A3 Muster 108 x f(x) 2 4 6 –10 –8 –6 –4 –2 5 10 –15 –10 –5 0 f Ó Technologie Anleitung Flächenberechnung 6f3b4v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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