41 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Eine Firma produziert Senftuben. Die Funktion S mit S(t) = − 0,5 t 2 + 25 tbeschreibt die ungefähre Anzahl der Verkäufe S in der Woche t im Zeitraum [0; 11]. Berechne die Anzahl der Verkäufe in diesen elf Wochen exakt (nach der Funktion S) und näherungsweise mit der Integralrechnung und stelle deine Berechnungen graphisch dar. In einem Vergnügungspark nimmt die Anzahl der Besucherinnen und Besucher stündlich zu. Der Zustrom an Besucherinnen und Besuchern t Stunden nach Beginn der Öffnung des Parks wird an einem bestimmten Tag durch die Funktion Z mit Z (t) = 300 · 1,03t angenähert (t ∈ [0; 7]). a) Interpretiere die Parameter 300 und 1,03. b) Berechne die Anzahl der Besucherinnen und Besucher, die laut diesem Modell 6 Stunden nach der Öffnung im Park sind. Berechne diese Anzahl mit und ohne Integralrechnung. c) Interpretiere folgende Ausdrücke: : 3 6 Z(t)dt, Z(4), 1 _ 3 · : 4 7 Z(t)dt, ; t = 0 7 Z(t) Eine Firma bringt ein neues Computer- spiel auf den Markt. Das Interesse ist groß. Die Funktion Z modelliert die Anzahl der Zugriffe pro Stunde auf die Webseite dieses neuen Spiels in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden). Stelle die in der Abbildung markierte Fläche durch ein Integral dar und interpretiere diesen Ausdruck. Eine IT-Firma bringt ein neues Produkt auf den Markt. Die Anzahl der Telefonanrufe für technische Auskünfte am Tag x kann annähernd durch eine Polynomfunktion S in Abhängigkeit des Tages x modelliert werden (x ∈ [0; 40]). a) Interpretiere den Ausdruck S (5) im gegebenen Kontext. b) Interpretiere den Ausdruck : 0 40 S(x)dxim gegebenen Kontext. c) Interpretiere den Ausdruck ; x = 0 8 S(x) im gegebenen Kontext. d) Interpretiere den Ausdruck 1 _ 20 · : 0 20 S(x)dxim gegebenen Kontext. Eine neue Zahnpasta wird eingeführt. Die Funktion f beschreibt die Anzahl der verkauften Tuben f(x) in der x-ten Woche nach der Markteinführung. Interpretiere den Wert des unterhalb des Graphen von f gekennzeichneten Flächenstücks und stelle diesen durch ein Integral dar. 103 Zeit t (in Wochen) S(t) Anzahl der verkauften Senftuben in der Woche t 123456789101112 50 100 150 200 250 0 S 104 105 t Z(t) 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 100 200 300 0 Z 106 AN-R 4.3 M1 107 x f(x) 5 1015202530 50 100 150 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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