40 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Vereinfache so weit wie möglich und berechne anschließend. a) : −1 3 (x 2 − 5 x + 2)dx + : 3 −1 (x 2 − 5 x + 2)dx b) : −2 4 (4 x − 2)dx + : 4 −2 (4 x − 2)d x Vereinfache so weit wie möglich und berechne anschließend. a) : 1 5 (− 3 x + 4)dx + : 5 7 (− 3 x)dx + : 5 7 4 dx b) : −4 8 (− x 3+ 3 x2 − 1)dx + : 4 4 (− 3 x)dx + : 8 −4 (− x 3+ 3 x2 − 1)d x c) : 2 4 (− 2 x)dx + : 4 6 (− 2 x)dx + : 2 6 (2 x)d x Annäherung mittels bestimmter Integrale In 2.2 wurde bereits erarbeitet, dass das bestimmte Integral einer Funktion f in einem Intervall [a; b] als Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden kann. Die gegebenen Funktionen waren meist auf ganz ℝ definiert. In den folgenden Beispielen werden Situationen aus dem Alltag durch Funktionen angenähert. Dabei ist die Definitionsmenge meist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, der Graph der Funktion wird allerdings auf ganz ℝ dargestellt. Wie das folgende Beispiel zeigt, kann auch bei diesen „diskreten“ Fällen (die Definitionsmenge ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen) die Integralrechnung nützlich sein. Eine Firma produziert Spielfiguren einer Zeichentrickserie. Die Funktion A mit A (t) = − t 2 + 60 t beschreibt die Anzahl der Verkäufe A in der Woche t im Zeitraum [0; 8]. Berechne die Anzahl der Verkäufe in den ersten acht Wochen exakt (nach der Funktion A) und näherungsweise mit der Integralrechnung und stelle deine Berechnungen graphisch dar. „exakte“ Berechnung mittels Summe näherungsweise Berechnung mittels Integral t A(t) 1234567891011 100 200 300 400 500 0 A t A(t) 1234567891011 100 200 300 400 500 0 A Um die exakte Anzahl der verkauften Spielfiguren zu erhalten, muss folgende Summe berechnet werden: A(0) + A(1) + A(2) + A(3) + … + A(8) = = ; t = 0 8 A(t) = 1956 Bei diesem Beispiel entspricht die Summe dem Wert der Obersumme von A in [0; 8] mit 8 Rechtecken. Näherungsweise kann diese Summe mittels der Integralrechnung angenähert werden, da das bestimmte Integral als Grenzwert der Obersummen interpretiert werden kann. Da die Funktion eigentlich nur für natürliche Zahlen sinnvoll ist, ist dieser Wert nur eine Annäherung an die eigentliche Summe: : 0 8 A(t)dt = 1749,3 100 101 Muster 102 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==