39 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Bestimme den Wert a, sodass gilt: : −4 a (− 2 x + 3)dx = 30. Um den gesuchten Wert zu bestimmen, muss das bestimmte Integral zuerst berechnet werden: : −4 a (− 2 x + 3)dx = (− x 2 + 3 x)| −4 a = − a 2 + 3 a + 28 Setzt man nun − a 2 + 3 a + 28 = 30 und löst die Gleichung, erhält man: a 1= 1 bzw. a2 = 2. Bestimme den gesuchten Wert a. a) : −1 a (2 x − 5)dx = 44, a > 0 d) : a 12 (− 3 x + 12)dx = 120, a < 0 g) : −4 a (2 x 2)dx = 48 b) : −7 a (− 2 x + 3)dx = 70, a > 0 e) : a 1 (7 x − 1)dx = − 2, a < 0 h) : −4 2 (ax + 8)dx = 120 c) : −3 a (− 6 x + 2)dx = − 192, a > 0 f) : a 2 (− 3 x 2)dx = − 9 i) : −2 4 (− ax 2 + 5 x)dx = − 18 Lösen von Aufgabe 90 a mit Technologie Geogebra: Löse(Integral[2 x – 5, –1, a] = 28, a) TI-Nspire: solve( : –1 a (2 x – 5) dx = 28, a) Casio: solve( : – 1 a (2 x – 5) dx = 28, a) Neben den aus Kapitel 1 bekannten Regeln gibt es noch weitere Regeln für bestimmte Integrale. Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale 1) : a b f(x)dx + : b c f(x)dx = : a c f(x)d x 2) : a b f(x)dx = − : b a f(x)d x 3) : a a f(x)dx = 0 Beweis Regel 1) Diese Regel kann durch Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung bewiesen werden: : a b f(x)dx + : b c f(x)dx = F(b) − F(a) + F(c) − F(b) = F(c) − F(a) = : a c f(x)d x Die anderen beiden Regeln werden in Aufgabe 97 behandelt. a) Beweise Regel (2) aus obigem Merkkasten. b) Beweise Regel (3) aus obigem Merkkasten. Zeige, dass für eine ungerade Polynomfunktion gilt: : −a a f(x)dx = 0 Beweise die angegebene Aussage. a) : a b f(x)dx − : b a f(x)dx = 2 · : a b f(x)d x c) : 0 4 2 · f(x)dx + : 0 4 3 · f(x)dx − : 4 0 4 · f(x)dx = 9 · : 0 4 f(x)d x b) : 0 4 f(x)dx + : 2 4 f(x)dx + : 2 4 f(x)dx = 3 · : 2 4 f(x)dx + : 0 2 f(x)d x Muster 95 96 Technologie Ó Technologie Anleitung Grenze eines Integrals bestimmen th5476 Merke 97 98 99 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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