38 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Im Folgenden wird die Summenregel bewiesen. Die Konstantenregel wurde schon in Kapitel 1 gezeigt. Der Beweis der Regel vom konstanten Faktor findet sich in Aufgabe 88. Beweis der Summenregel Wie in Kapitel 1 schon gezeigt, ist F + Geine Stammfunktion von f + g. Wendet man diese Tatsache an, erhält man: : a b (f(x) + g(x))dx = (F(x) + G(x))| a b = (F(b) + G(b)) − (F(a) + G(a)) = = (F(b) − F(a)) + (G(b) − G(a)) = : a b f(x)dx + : a b g(x)d x Beweise die Regel vom konstanten Faktor für bestimmte Integrale. Berechne das bestimmte Integral : a b f(x)dxund gib an, ob dieser Wert der Flächeninhalt ist, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b] einschließt. a) : −1 3 (2 x 2 − 4 x + 5)d x c) : −2 1 (x 3 − 2 x 2 + 1)dx e) : −1 1 (− x 4 + 2)d x b) : 1 3 (− x 2 + 4 x − 2)d x d) : 1 3 (− 2 x 3 + 3 x − 4)dx f) : 0,5 2 (− 2 x 4 + x)d x Berechne das bestimmte Integral : a b f(x)dxund gib an, ob dieser Wert der Flächeninhalt ist, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b]einschließt. a) : −4 −1 (− 3 x 2 + x −1)d x d) : 3 4(2 x 1 _ 5− 1 _ 3 x 2)d x g) : 0 2 π 3 · sin(0,5 x)d x j) : 1 2 (5 · e −2 x)d x b) : 2 5( − x 1 _ 2 + x −3)d x e) : −π π (− 2 · sin(x))dx h) : 0 π (− sin(2 x))d x k) : −2 −1 (12 · e 2 x)d x c) : 3 6(2 x 2 _ 3− 4 _ 3 x)d x f) : 1 3 3 · sin(4 x)d x i) : −1 1 (− 3 · e x)d x l) : 0 1 (− 2 · 3 −5 x)d x Berechne das bestimmte Integral. a) : −4 −1 (cos(3 x))d x b) : −π π (− 2 · sin(2 t))d t c) : −1 1 (− 3 · e 2 x)d x Die Geschwindigkeit einer Läuferin v (in m/s) nach t Sekunden lässt sich in einem bestimmten Zeitraum ungefähr durch die Funktion v mit v(t) = − 0,075 t2+ 1,4 tbeschreiben. Berechne, wie viele Meter die Läuferin im gegebenen Zeitintervall zurücklegt. a) [0; 4] b) [0; 6] c) [2; 5] d) [1; 3] e) [2; 6] Ein Ball wird lotrecht nach oben geworfen. Seine Geschwindigkeit (in m/s) nach t Sekunden ist durch v ungefähr gegeben. 1) Bestimme, nach wie vielen Sekunden der Ball den höchsten Punkt erreicht hat. 2) Berechne, wie viele Meter der Ball zurückgelegt hat, bis er den höchsten Punkt erreicht hat. a) v(t) = 20 − 10 t b) v(t) = 40 − 10 t c) v(t) = 25 − 10 t d) v(t) = 30 − 10 t Ein Hubschrauber steigt senkrecht vom Boden auf. Die Geschwindigkeit v des Hubschraubers (in m/s) zum Zeitpunkt t (in Sekunden s) ist durch v(t) = − 1 _ 120 t 2 + 5 _ 12 tgegeben. a) Berechne jenen Zeitpunkt, zu dem der Hubschrauber am schnellsten steigt. b) Berechne jenen Zeitpunkt, zu dem der Hubschrauber seinen höchsten Punkt erreicht hat. c) Berechne, wie viele Meter der Hubschrauber beim höchsten Punkt über dem Boden ist. 88 89 90 91 AN-R 4.3 M1 92 93 M2 94 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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