37 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Berechne : −4 3 (x 2)dx. Gib an, ob dieser Wert der Flächeninhalt ist, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. Um das Integral zu berechnen, wird zuerst eine Stammfunktion gesucht: : −4 3 (x 2)dx = (x 3 _ 3 + c)| −4 3 = = (3 3 _ 3 + c) − ( (− 4) 3 _ 3 + c) = 30,33 Da im gesuchten Intervall kein Funktionswert negativ ist, entspricht der erhaltene Wert dem Flächeninhalt, den der Graph von f in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt. Tipp: Da beim bestimmten Integral eine beliebige Stammfunktion gewählt werden kann, kann die additive Konstante weggelassen werden. Berechnen des bestimmten Integrals einer Funktion f in [a; b] Geogebra: Integral[Funktion, Startwert, Endwert] Beispiel: Integral(x2, 0, 5) TI-Nspire: Menü 4 3 ∫abf(x) dx Beispiel: : 0 5 x2 dx Casio: ∫ (Term, Variable, untere Grenze, obere Grenze) Beispiel: : 0 5 x 2 dx Berechne das bestimmte Integral und gib an, ob dieser Wert der Flächeninhalt ist, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. a) : −2 5 (x 3)d x b) : 1 3 (x −3)d x c) : −5 5 (x 4)d x d) : 1 3 (x −4)d x e) : 1 3( x 1 _ 2)d x f) : −4 −3 dx Rechenregeln für bestimmte Integrale Da beim Berechnen von bestimmten Integralen auf Stammfunktionen zurückgegriffen wird, sind folgende Rechenregeln aus Kapitel 1 übertragbar: Rechenregeln für bestimmte Integrale Es sind f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen, F eine Stammfunktion von f und k eine reelle Zahl (≠ 0) gegeben. Es gilt: Summen- und Differenzenregel: : a b (f(x) ± g(x))dx = : a b f(x)dx ± : a b g(x)dx Regel vom konstanten Faktor: : a b k · f(x)dx = k · : a b f(x)dx Konstantenregel: : a b f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x)| a b Muster 86 x f(x) 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 2 4 6 8 10 12 14 16 0 f Ó Technologie Anleitung Berechnen des bestimmten Integrals g399m3 Technologie 87 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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