36 2.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Lernziele: º Das bestimmte Integral mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen können º Rechenregeln zur Berechnung von bestimmten Integralen anwenden können º Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kennen und anwenden können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.2 [ …] bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können In den letzten Abschnitten konnte das bestimmte Integral von nichtlinearen Funktionen nur durch Ober- und Untersummen bzw. durch Zwischensummen angenähert werden. Es stellt sich nun die Frage, ob es nicht eine einfachere Methode gibt, um dieses Integral zu berechnen. Hierzu ist folgende Überlegung sinnvoll: Ein Rennfahrer bewegt sein Fahrzeug in den ersten fünf Sekunden gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v mit v(t) = 0,5 t2 (t in Sekunden, v in m/s). Wie kann nun das Integral : 1 5 v(t)dtberechnet werden? Das gesuchte Integral ist der Flächeninhalt, den der Graph der Funktion f mit der x-Achse einschließt. Da dieser als Summe von Produkten der Form v(t) · ∆tberechnet werden kann, ist das Ergebnis (Geschwindigkeit mal Zeit) der in den ersten fünf Sekunden zurückgelegte Weg (da v(t) > 0ist für alle t in [1; 5]). Wie in Kapitel 1 erarbeitet, erhält man eine Zeit-Ort-Funktion, indem man eine Stammfunktion von v sucht. Es gilt daher: s(t) = ∫ v(t)dt = 0,5 t 3 _ 3 + c Nun kann man den zurückgelegten Weg im Zeitintervall [1; 5] berechnen: s(5) − s(1) = (0,5 · 5 3 _ 3 + c) − ( 0,5 · 13 _ 3 + c) = 20,67m Man erkennt, dass es nicht wichtig ist, welche Stammfunktion gewählt wurde, da c bei der Berechnung weggefallen ist. Bei diesem Beispiel wurde das bestimmte Integral durch Verwendung einer Stammfunktion berechnet. Diese großartige Erkenntnis lässt sich auf analoge Weise auf beliebige stetige Funktionen verallgemeinern (auch wenn diese z.B. negative Funktionswerte besitzen) und führt zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Beweis s. S. 282). Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Dann gilt: 1) Es existiert eine Stammfunktion F von f. 2) : a b f(x)dx = F(x) | a b = F(b) − F(a) Anmerkung: Die Schreibweise F(x) | a b ist eine Abkürzung für F(b) − F(a). Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, muss man eine Stammfunktion finden, zuerst die obere Grenze, dann die untere Grenze einsetzen und die Ergebnisse subtrahieren. Kompetenzen t v(t) 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 0 v Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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