33 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Produktsummen und das bestimmte Integral Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Berechne den Wert : a b f(x)dx. a) 1) a = − 3b = 7 2) a = − 1b = 3 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 –4 –6 –2 0 f c) 1) a = 0b = 8 2) a = 4b = 7 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f b) 1) a = − 2b = 13 2) a = 2b = 12 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f d) 1) a = − 2b = 9 2) a = 0b = 9 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f Berechne den Wert : a b f(x)dxund stelle diesen graphisch dar. Beurteile, ob der erhaltene Wert der Flächeninhalt ist, den der Graph der Funktion f mit der x-Achse im gegebenen Intervall einschließt. a) f(x) = − 3x+2 a = − 4 b =3 e) f(x) = − x + 3 a =0 b =6 b) f(x) = − 5x+5 a = − 3 b=1 f) f(x) = 2 x − 4 a = − 1 b =5 c) f(x) = 2 x − 4 a =3 b=7 g) f(x) =3x+1 a = − 5 b = − 2 d) f(x) = 6 x − 3 a = − 1 b =2 h) f(x) = − x − 1 a=1 b=5 In einen künstlichen Teich wird Wasser eingelassen. Die Zuflussgeschwindigkeit Z (in m 3 /min) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten min) ist in der Graphik abgebildet. Erläutere die Graphik so genau wie möglich und interpretiere den Ausdruck : 0 14 Z(t)dt. Zu den Zeitpunkten t = 0und t = 14wird kein Wasser zugeführt. Zu allen anderen Zeitpunkten sehr wohl. Die Zuflussgeschwindigkeit nimmt ca. 8 Minuten lang zu, anschließend nimmt sie bis zum Zeitpunkt t = 14 minab. Aufgrund des Graphen kann keine Aussage über die Wassermenge im Teich getroffen werden (es ist nicht bekannt, ob der Teich zu Beginn leer ist). Um den Ausdruck : 0 14 Z(t)dtzu interpretieren, ist es hilfreich das Integral als Summe von Produkten der Form Z(t) · ∆tzu interpretieren. Multipliziert man die Zuflussgeschwindigkeit in einem sehr kleinen Intervall mit der Zeit, so erhält man die Menge an Wasser, die in dieser Zeit dazugekommen ist (dies ist auch an der Einheit ersichtlich: m 3 _ min · min = m 3). Das Integral steht also für die Menge an Wasser, die in den 14 Minuten dazugekommen ist. 77 78 Muster 79 t (in min) Z(t) (in m3/min) 2 4 6 8 101214 2 4 6 8 0 Z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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