32 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Produktsummen und das bestimmte Integral 2 Gegeben ist eine Funktion f. 1) Berechne näherungsweise den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [a; b] einschließt, mithilfe von Zwischensummen. Nimm bei jedem Teilintervall den Mittelpunkt des Teilintervalls als Zwischenstelle. 2) Berechne näherungsweise den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [a; b] einschließt, mithilfe von Ober- und Untersummen. Unterteile das Intervall in n gleich große Teilintervalle. 3) Kontrolliere die Beziehung U n ≤ S n ≤ O n. a) f(x) = x 2 _ 2 + x _ 2 [1; 9] n = 4; 8 c) f(x) = − 2 _ x − 2 [− 3; 1] n = 2; 4 b) f(x) = − x 2 _ 10+ 30 [2; 8] n = 3; 6 d) f(x) = 2 x _ x − 1 [2; 10] n = 4; 8 Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Der Ausdruck : a b f(x)dxist der Grenzwert (1) von (2) . (1) (2) einer Summe Summen eines Produkts Produkten eines Quotienten Rechtecken Interpretationen Auf den vorangegangenen Seiten wurden vorwiegend Funktionen verwendet, die im Intervall [a; b] keine negativen Funktionswerte annehmen. Wie kann man allerdings den Wert : a b f(x)d x interpretieren, wenn die Funktion negative Funktionswerte annimmt? In nebenstehender Abbildung sieht man den Graphen einer Funktion, die auch negative Werte annimmt. Weiters sind drei Flächeninhalte A 1, A 2und A3 eingezeichnet. Da das bestimmte Integral der Grenzwert einer Summe von Produkten der Form f(x) · ∆xist, ist diese Summe in [c; d] negativ. Aus diesem Grund ist der Wert : a b f(x)dxin diesem Fall nicht der Flächeninhalt, den der Graph von f in [a; b] mit der x-Achse einschließt, sondern: : a b f(x)dx = A1 − A 2 + A 3 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Berechne den Wert : −2 6 f(x)dx. Für die Berechnung des Integrals ist eine Unterteilung in drei Teilflächen notwendig (zwei Dreiecke und ein Viertelkreis): A 1 = 3,5 · 7 _ 2 = 12,25 A2 = 1,5 · 3 _ 2 = 2,25 A3 = 3 2 π _ 4 = 2,25 π Da sich A 1im negativen Bereich und A2und A3im positiven Bereich befinden gilt: : −2 6 f(x)dx = − 12,25 + 2,25 + 2,25 π ≈ − 2,93 74 Ó Technologie Anleitung Rechtecksummen gp6de9 AN-R 4.1 M1 75 Ó Arbeitsblatt Das bestimmte Integral – Maturaformate 2 np3vu4 x f(x) b d a c 0 f A1 A2 A3 Ó Arbeitsblatt Das bestimmte Integral – Interpretationen z4329i Muster 76 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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