31 2.2 Produktsummen und das bestimmte Integral Lernziele: º Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten können º Die Schreibweise des bestimmten Integrals verstehen können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.1 D en Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Das bestimmte Integral – Deutung als eine Summe von Produkten Da das Berechnen von Ober- und Untersummen bzw. das Finden des kleinsten bzw. größten Funktionswerts in einem Intervall bei nichtmonotonen Funktionen recht aufwendig ist, werden oft so genannte Zwischensummen verwendet: Dabei wird das Intervall [a; b] wieder in n gleich große Teilintervalle unterteilt. In jedem der Intervalle wird eine beliebige Stelle x i ausgewählt und ein Rechteck mit der Breite ∆ x = b − a _ n und der Länge f(x i) gebildet. Anschließend wird folgende Summe gebildet: S n = f(x 1) ·∆x + f(x 2) ·∆x + f(x 3) ·∆x+…+f(x n) ·∆x = ; i = 1 n f(x i) · ∆ x Diese Summe wird Zwischensumme genannt. In nebenstehender Abbildung sieht man für eine Funktion f in [1; 6] eine Ober-, eine Unter- und eine Zwischensumme eingezeichnet. In jedem Teilintervall wurde der Mittelpunkt als Zwischenstelle genommen. Wird bei einer stetigen Funktion ein Intervall [a; b] in n gleich große Teile unterteilt, dann kann man zeigen, dass folgender Zusammenhang gilt: U n ≤ S n ≤ O n Da das bestimmte Integral bis jetzt als Wert zwischen allen Ober- und Untersummen definiert wurde, ist auch eine Definition über Zwischensummen möglich. Hier ist auch der Zusammenhang zur Schreibweise ersichtlich: Unterteilt man das Intervall [a; b] in immer mehr Teile, so wird ∆ ximmer kleiner und S n nähert sich dem Wert : a b f(x)dxan. Dieser Wert ist der Grenzwert der Zwischensummen Sn für n → ∞. Um daran zu erinnern, dass das bestimmte Integral der Grenzwert einer Summe von Produkten der Form f(x i) · ∆xist (eine Produktsumme), wurde ∆ xdurch dx und das Summenzeichen durch das Integralzeichen ∫ ersetzt: ∑ i f(x i) · ∆ x → : a b f(x)dx Das bestimmte Integral Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann kann das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden. Es gilt: ; i = 1 n f(x i) ·∆x = : a b f(x)dx für n → ∞ Kompetenzen x f(x) f 2 4 6 –2 2 4 6 0 Ó Technologie Darstellung Zwischensummen ty6rv5 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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