29 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral Gegeben ist eine in [a; b] streng monotone Funktion f. Berechne, in wie viele gleich breite Teilintervalle das Intervall [a; b] geteilt werden muss, damit die Differenz der Ober- und Untersumme kleiner als 0,3 wird. a) f(x) = x 2 + 5 [a; b] = [3; 12] d) f(x) = 10 _ x [a; b] = [2; 10] b) f(x) = − 2 x 2+ 50 [a; b] = [1; 5] e) f(x) = x _ x − 2 [a; b] = [3; 8] c) f(x) = x 3 _ 5 + 1 [a; b] = [1; 20] f) f(x) = cos(0,2 x) [a; b] = [33; 39] Das bestimmte Integral Betrachtet man eine auf [a; b] stetige Funktion mit nur nicht-negativen Funktionswerten, dann sind folgende Punkte erkennbar: – Alle Untersummen sind kleiner als alle Obersummen. – Die Differenz der Ober- und Untersummen kann beliebig klein gemacht werden. Dazu muss nur die Intervallbreite der Teilintervalle genügend klein gewählt werden. Es kann gezeigt werden, dass die obigen Punkte auch für stetige Funktionen mit negativen Funktionswerten gelten. Außerdem kann man vermuten, dass es eine Zahl gibt, die zwischen allen Ober- und Untersummen liegt. Diese Zahl wird bestimmtes Integral von f in [a; b]genannt: Das bestimmte Integral Ist f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann nennt man jene Zahl, die zwischen allen Untersummen U und Obersummen O von f in [a; b] liegt, bestimmtes Integral von f in [a; b] und schreibt: : a b f(x)dx oder kurz: : a b f Anmerkungen: – Der Zusammenhang zum unbestimmten Integral wird in Abschnitt 2.4 gezeigt. – Man sagt auch „Integral von f zwischen den Grenzen a und b“. – a wird als untere Grenze, b als obere Grenze bezeichnet. – f(x) wird als Integrand bezeichnet, x als Integrationsvariable (vgl. 1.1). Tipp: Besitzt eine in [a; b] stetige Funktion nur nicht-negative Funktionswerte, dann ist : a b f(x)dxder Flächeninhalt, den der Graph von f im gegebenen Intervall mit der x-Achse einschließt. Gegeben ist ein Integral. (1) Gib die obere und untere Grenze des Integrals an. (2) Gib den Integranden an. (3) Gib die Integrationsvariable an. a) : −22 −17 (4 x − 7)d x b) : 12 35 (3 x − 5) 2 dx c) : 2 4 sin(4 t)d t d) : 0 6 (− 2 axb + t)d t Gegeben ist eine Funktion f. Grenze den Wert : a b f(x)dxmithilfe von Ober- und Untersummen ein. Unterteile das Intervall in n gleich große Teilintervalle. a) f(x) = x 2 _ 8 + 1 a = 2; b = 5; n = 6 c) f(x) = 12 _ x a = 1; b = 9; n = 8 b) f(x) = − x 2 _ 4 + 20 a = 1; b = 8; n = 7 d) f(x) = e 0,5 x a = 0; b = 3; n = 6 67 Merke Ó Technologie Darstellung Das bestimmte Integral bu4j96 68 69 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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