283 Beweise | Anhang Dynamische Systeme Exp®izite Darste®®ung einer ®inearen Differenzeng®eichung Die exp®izite Form einer ®inearen Differenzeng®eichung yn + 1 = a · yn + b mit dem Anfangswert y0 und a ≠ 1 ist gegeben durch: yn = a n · y 0 + b · 1 – an _ 1 – a Zuerst werden die ersten G®ieder betrachtet: y1= a·y0 + b y2= a·y1 + b = a · (a · y 0 + b) + b = a 2 · y 0 + a · b + b y3= a·y2 + b = a · (a 2 · y 0 + a · b + b) + b = a 3 · y 0 + a 2 · b + a · b + b … yn = a n · y 0 + a n – 1 · b + an – 2 · b + … + a · b + b = a n · y 0+ b · (a n – 1 + an – 2 + … + a + 1) Durch Verwendung der Summenforme® für geometrische Reihen (vg®. Lösungswege 6, Seite 142) erhä®t man die Behauptung: a n – 1 + an – 2 + … + a + 1 = 1 – a n _ 1 – a w yn = a n · y 0 + b · 1 – a n _ 1 – a Sch®ießende und beurtei®ende Statistik Forme® zur Berechnung des (approximierten) γ-Konfidenzinterva®®s γ-Konfidenzinterva®® für p = 4 h – z · 9 ____ h · (1 – h) __ n ; h + z · 9 ____ h · (1 – h) __ n 5 ε = z · 9 ____ h · (1 – h) __ n … Abweichung von h; die ha®be Interva®®breite p … die unbekannte (abzuschätzende) Wahrschein®ichkeit für das Auftreten eines Merkma®s in der Grundgesamtheit h … re®ative Häufigkeit des Merkma®s in der Stichprobe n … Umfang der Stichprobe Φ(z) = γ + 1 _ 2 z ≈ 1,96 für γ = 0,95 z ≈ 2,575 für γ = 0,99 γ … Sicherheit oder Vertrauensniveau α = 1 – γ … Irrtumswahrschein®ichkeit H ist die abso®ute Häufigkeit einer binomia®vertei®ten Zufa®®svariab®en X in einer Stichprobe, n ist der Umfang der Stichprobe, h = H _ n ist die re®ative Häufigkeit dieses Merkma®s. [h – ε; h + ε] ist das gesuchte Konfidenzinterva®® mit der Sicherheit γ. Die Wahrschein®ichkeitsvertei®ung von X kann durch eine Norma®vertei®ung approximiert werden. X ist annähernd norma®vertei®t mit dem Erwartungswert E = n · h und der Standardabweichung S = 9 _______ n · h · (1 – h) . Die re®ative Häufigkeit h = X _ n ist norma®vertei®t mit den Parametern μ = n · h _ n = h und σ = 9 _______ n · h · (1 – h) __ n = 9 ____ h · (1 – h) __ n (ohne Beweis). F ist die Vertei®ungsfunktion der re®ativen Häufigkeit h mit N2 h; 9 ____ h · (1 – h) __ n 3. Φ ist die Vertei®ungsfunktion der Standard-Norma®vertei®ung N(0; 1). P(h – ε ª p ª h + ε) = γ w F(h + ε) – F(h – ε) = γ w Φ2 (h + ε) – h __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 – Φ2 (h – ε) – h __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 = γ w Φ2 ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 – Φ2 ‒ ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 = γ w Φ2 ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 – 2 1 – Φ2 ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 3 = γ w 2 · Φ2 ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 – 1 = γ w Φ2 ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n 3 = γ + 1 _ 2 Nun bestimmt man z so dass gi®t: Φ(z) = γ + 1 _ 2 w ε __ 9 ____ h · (1 – h) __ n = z w ε = z · 9 ____ h · (1 – h) __ n Somit ®autet das γ-Konfidenzinterva®® für die Wahrschein®ichkeit p in der Grundgesamtheit: 4 h – z · 9 ____ h · (1 – h) __ n ; h + z·9 ____ h · (1 – h) __ n 5 q. e. d. 4 S. 89 Satz BEWEIS 7 S. 157 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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