282 Beweise Anhang Beweise Stammfunktionen Substitutionsmethode Ist f stetig und g differenzierbar, dann ist fo®gende Substitution mög®ich: x = g(u) bzw. dx = g’(u) · du w : f(x)· dx = : f(g(u)) · g’(u) du Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann ist wegen der Kettenrege® F(g(u)) eine Stammfunktion von f(g(u)) · g’(u). Der Hauptsatz der Differentia®- und Integra®rechnung Hauptsatz der Differentia® und Integra®rechnung Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Dann gi®t: 1) Es existiert eine Stammfunktion F von f. 2) Es gi®t : a b f(x)dx = F(x) 1a b = F(b) – F(a) Der Einfachheit ha®ber wird eine auf [a; b] monoton steigende Funktion mit nur positiven Funktionswerten betrachtet. Die Funktion A(x) bezeichnet den F®ächeninha®t, den der Graph von f im Interva®® [a; x] mit der x-Achse einsch®ießt. Geht man auf der x-Achse um ein k®eines Stück (Δx) weiter, so kann man den neuen roten F®ächeninha®t mitte®s A(x + Δx) – A(x) berechnen. Man könnte diesen F®ächeninha®t auch mitte®s Ober- und Untersummen von f in [x; x + Δx] berechnen. Eine weitere Mög®ichkeit ist die Berechnung mitte®s Zwischensummen: Wie im Kapite® 2 besprochen, gibt es, da f eine stetige Funktion ist, eine Zwischenste®®e xi im Interva®® [x; x + Δx] mit der Eigenschaft, dass der F®ächeninha®t des Rechtecks mit der Breite Δx und der Höhe f(xi) mit dem roten F®ächeninha®t übereinstimmt. Es gi®t daher: A(x + Δx) – A(x) = Δx · f(xi). Durch Umformung erhä®t man einen Differenzenquotienten: A(x + Δx) – A(x) __ Δx = f(xi). Lässt man nun Δx immer k®einer werden, so wird die rote F®äche immer k®einer und xi nähert sich x an. Man erhä®t daher den Differentia®quotienten: A’(x) = ®im Δx ¥ 0 A(x + Δx) – A(x) __ Δx = ®im Δx ¥ 0 f(xi) = f(x). Da f die Ab®eitungsfunktion der Funktion A ist, hat man eine Stammfunktion F von f gefunden. Nun ist noch zu zeigen, dass für jede be®iebige Stammfunktion von f gi®t: : a b f(x)dx = F(x) 1a b = F(b) – F(a) Setzt man nun F(x) = A(x) + d bzw. A(x) = F(x) + c, so kann man den F®ächeninha®t, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b] einsch®ießt, auf fo®gende Art berechnen: : a b f(x)dx = A(b) – A(a) = F(b) + c – F(a) – c = F(b) – F(a) Man kann a®so zur Berechnung des bestimmten Integra®s jede be®iebige Stammfunktion F von f nehmen. 1 S. 17 Satz BEWEIS 2 S. 34 Satz BEWEIS x f(x) f a x A(x) A(x + Δx) – A(x) x + Δx Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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