28 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral 2 Gegeben ist eine Funktion f. 1) Berechne näherungsweise den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [a; b] einschließt, mithilfe von Ober- und Untersummen. Unterteile das Intervall in n gleich große Teilintervalle. 2) Kontrolliere, dass die Untersummen kleiner als die Obersummen sind. 3) Berechne für jedes n die Differenz der Ober- und Untersummen und vergleiche die Ergebnisse. a) f(x) = x 2 _ 4 + 3 x _ 5 [1; 5] n = 2; 4; 8 c) f(x) = 5 _ x [1; 7] n = 2; 3; 6 b) f(x) = − x 2 _ 4 + 10 [0; 6] n = 2; 3; 6 d) f(x) = x _ x + 1 [− 5; − 2] n = 2; 3; 6 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Berechne näherungsweise den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [a; b] einschließt mithilfe von Ober- und Untersummen. Unterteile das Intervall in n gleich große Teilintervalle. a) [a; b] = [1; 7] n = 2; 3; 6 x f 2 4 6 8 10 12 2 4 6 f(x) 0 b) [a; b] = [− 12; − 6] n = 2; 3; 6 x f(x) f –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 0 Gegeben ist eine Funktion f. 1) Berechne die Ober- und Untersummen von f in [a; b]. Unterteile das Intervall in n gleich große Teilintervalle. 2) Erkläre, wieso die in (1) erhaltenen Werte keine Annäherung für den Flächeninhalt sind, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. a) f(x) = − 3x+6 [a; b] = [1; 5] n = 2; 4 b) f(x) = − x 2 _ 5 + 3 [a; b] = [2; 6] n = 3; 6 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 _ 5 . Berechne, in wie viele gleich breite Teilintervalle das Intervall [1; 6] geteilt werden muss, damit die Differenz der Ober- und Untersumme kleiner als 0,5 wird. Das Intervall [1; 6] wird in n gleich große Teilintervalle zerlegt. Die einzelnen Teilungsstellen werden mit x0, x 1, …, xn bezeichnet. Da die Funktion in [1; 6] streng monoton steigend ist, befinden sich die Maximumstellen an den rechten Rändern der Teilintervalle [x 0; x 1]; [x 1, x 2]; … und die Minimumstellen an den linken Rändern. Es gilt daher: O n = ∆x·f(x 1) + ∆x·f(x 2) + … + ∆x·f(x n−1) + ∆x·f(x n) U n = ∆x·f(x 0) + ∆x·f(x 1) + ∆x·f(x 2) + … + ∆x·f(x n−1) ⇒ O n − U n = ∆x·f(x n) − ∆ x · f(x 0) = ∆x·(f(x n) − f(x 0)) Durch Einsetzen von x 0= 1, xn= 6, f(x 0)= 0,2, f(x n) = 7,2und ∆x = 6 − 1 _ n = 5 _ nerhält man: O n − U n = 5 _ n · (7,2 − 0,2) = 35 _ n Da die Differenz kleiner als 0,5 sein soll, erhält man: 35 _ n < 0,5 ⇒ n > 70 Ab einer Unterteilung in 71 Intervalle ist die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kleiner als 0,5. 63 Ó Technologie Darstellung Ober- und Untersumme berechnen 6z77xf 64 Ó Arbeitsblatt Aufgaben zu Ober- und Untersummen 92be5s 65 Ó Technologie Darstellung Ober- und Untersumme darstellen 67ab3f Muster 66 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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