27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral Da der gesuchte Flächeninhalt zwischen U 30und O30liegen muss, gilt: U 30 ≤ A(1; 6) ≤ O 30 ⇒ 13,75 ≤ A(1; 6) ≤ 14,92 Je größer die Anzahl der Teilintervalle ist, desto besser wird die Annäherung für den tatsächlichen Flächeninhalt. Diese Überlegungen können nun verallgemeinert werden: Ober- und Untersummen Gegeben ist eine auf [a; b] stetige Funktion f. Zerlegt man das Intervall [a; b] in n gleich große Teilintervalle der Breite ∆ x = b − a _ n , und bezeichnet mit m1, m 2, …, mndie Minimumstellen und mit M 1, M 2, …, Mn die Maximumstellen von f in den einzelnen Intervallen, dann nennt man – U n = ∆x·f(m 1) + ∆x·f(m 2) + … + ∆x·f(m n) = ; i = 1 n ∆ x · f(m i) Untersumme von f in [a; b]. – O n = ∆x·f(M 1) + ∆x·f(M 2) + … + ∆x·f(M n) = ; i = 1 n ∆ x · f(M i) Obersumme von f in [a; b]. Anmerkungen – Anschaulich sieht man, dass jede Untersumme kleiner als jede Obersumme ist. Es gilt daher: U 1 ≤ U 2 ≤ U 3 ≤ U 4 ≤ … ≤ A ≤ … ≤ O 4 ≤ O 3 ≤ O 2 ≤ O 1 – Bei streng monoton steigenden Funktionen befinden sich die Minimumwerte am linken Rand jedes Teilintervalls und die Maximumwerte am rechten Rand jedes Teilintervalls. – Das Finden von Minimum- und Maximumstellen bei nicht monotonen Funktionen ist nicht einfach. Hier wird in Abschnitt 2.2 noch eine weitere Möglichkeit gezeigt. – Beachte, dass diese Definition auch für Funktionen mit negativen Funktionswerten gilt. Dann sind jedoch Ober- und Untersummen keine Annäherung mehr für den gesuchten Flächeninhalt (vgl. Aufgabe 65), weil ein Produkt ∆ x · f(x i) negativ sein kann. – Das Zeichen ; i = 1 n ∆x·f(m i) wird gelesen als „Summe von i gleich 1 bis n von ∆x · f(m i)“ und ist eine Abkürzung für die Schreibweise ∆ x · f(m 1) + ∆x·f(m 2) + … + ∆x·f(m n). Berechnen von Ober- und Untersummen einer Funktion f auf [a; b] Geogebra: Obersumme[Funktion, Startwert, Endwert, Anzahl der Rechtecke] Untersumme[Funktion, Startwert, Endwert, Anzahl der Rechtecke] Casio: Gegeben ist eine lineare Funktion f. 1) Berechne die Ober- und Untersumme O nund Unvon f in [1; 7] durch Unterteilung in n = 2, n = 3und n = 6gleich große Teilintervalle. 2) Berechne den Flächeninhalt A, den der Graph von f und die x-Achse im Intervall [1; 7] miteinander einschließen. 3) Zeige, dass gilt: U2 ≤ U 3 ≤ U 6 ≤ A ≤ O 6 ≤ O 3 ≤ O 2 a) f(x) = 2 x + 1 c) f(x) = 4 x − 3 e) f(x) = − x + 9 b) f(x) = 3 x − 2 d) f(x) = − 2 + 2 x f) f(x) = − 2 x + 14 Merke Technologie Ó Technologie Anleitung Ober- und Untersummen mit Geogebra kr592g 62 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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