26 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral 2 Allgemein kann der Flächeninhalt mittels so genannter Ober- und Untersummen angenähert werden. Dazu unterteilt man das Intervall [1; 6] in n gleich große Teilintervalle der Länge ∆ x(= 5 _ n) und nähert die einzelnen Flächeninhalte durch Rechtecksflächen an. In den folgenden Abbildungen wird das Intervall in n gleich große Intervalle unterteilt. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke in den linken Abbildungen wird Untersumme (U) genannt, die in den rechten Abbildungen wird Obersumme (O) genannt. Untersumme U n Obersumme O n n=2 ∆x= 5 _ 2 = 2,5 n=2 ∆x= 5 _ 2 = 2,5 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –4 –2 2 4 6 8 0 f x2_ 5 f(x) = x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 123456789 x2_ 5 f(x) = U 2 = f(1) · 2,5 + f(3,5) · 2,5 = 0,2 · 2,5 + 2,45 · 2,5 = = 6,63 O 2 = f(3,5) · 2,5 + f(6) · 2,5 = 2,45 · 2,5 + 7,2 · 2,5 = = 24,13 Da der gesuchte Flächeninhalt zwischen U 2und O2liegen muss, gilt: U 2 ≤ A(1; 6) ≤ O 2 ⇒ 6,63 ≤ A(1; 6) ≤ 24,13 Um den Flächeninhalt genauer einzuschränken, kann die Anzahl der Teilintervalle erhöht werden: n=5 ∆x=5 _ 5 = 1 n=5 ∆x= 5 _ 5 = 1 x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 123456789 x2_ 5 f(x) = x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 123456789 x2_ 5 f(x) = U = f(1) ·1 + f(2) ·1 + f(3) ·1 + f(4) ·1 + f(5) · 1 = = 0,2 + 0,8 + 1,8 + 3,2 + 5 = 11 O = f(2) ·1 + f(3) ·1 + f(4) ·1 + f(5) ·1 + f(6) · 1 = = 0,8 + 1,8 + 3,2 + 5 + 7,2 = 18 Da der gesuchte Flächeninhalt zwischen U 5und O5liegen muss, gilt: U 5 ≤ A(1; 6) ≤ O 5 ⇒ 11 ≤ A(1; 6) ≤ 18 n=30 ∆x= 5 _ 30 = 1 _ 6 n=30 ∆x= 5 _ 30 = 1 _ 6 x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 123456789 x2_ 5 f(x) = x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 123456789 x2_ 5 f(x) = U = f(1) · 1 _ 6 + f(1 1 _ 6) · 1 _ 6 + … + f(5 5 _ 6) · 1 _ 6= 13,75 O = f(1 1 _ 6) · 1 _ 6 + f(1 2 _ 6) · 1 _ 6 + … + f(6) · 1 _ 6= 14,92 Ó Technologie Darstellung Ober- und Untersummen 66v5xb Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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