25 2.1 Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral Lernziele: º Den Flächeninhalt, den der Graph einer Funktion mit der x-Achse einschließt, näherungsweise mittels Ober- und Untersummen berechnen können º Das bestimmte Integral definieren können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.1 D en Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Ober- und Untersummen Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken können mithilfe bekannter Formeln berechnet werden. Diese Formeln erhält man durch Ergänzung der verschiedenen Figuren auf ein Rechteck. In diesem Kapitel soll der Flächeninhalt berechnet werden, den der Graph einer Funktion mit der x-Achse einschließt. Diese Berechnung ist im Allgemeinen mit den bis jetzt bekannten Mitteln nicht möglich. In nebenstehender Abbildung ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 _ 5 dargestellt. Der Flächeninhalt, den der Graph der Funktion mit der x-Achse im Intervall [1; 6] einschließt, wird im Folgenden mit A (1; 6) bezeichnet. Um A(1; 6) annähernd berechnen zu können, könnte man der Fläche Rechtecke einschreiben. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke ist dann ein Näherungswert für den tatsächlichen Flächeninhalt. In den drei untenstehenden Abbildungen sieht man, wie der Fläche 5, 10 bzw. 50 gleich breite Rechtecke eingeschrieben wurden. Berechnet man nun die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke, so erhält man immer bessere Näherungswerte für den gesuchten Flächeninhalt A (1; 6). x f(x) f 2 4 6 –2 2 4 6 8 0 x f(x) f 2 4 6 –2 2 4 6 8 0 x f(x) f 2 4 6 –2 2 4 6 8 0 Es ist anschaulich erkennbar, dass der Näherungswert bei jedem dieser drei Beispiele kleiner als A(1; 6) ist. Kompetenzen x f(x) f A(1; 6) 2 4 6 –2 2 4 6 8 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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