24 2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Es sind besondere Momente in der Geschichte der Mathematik, wenn es ge®ingt, Prob®eme zu ®ösen, deren Lösung auf den ersten B®ick unmög®ich erscheint. Eines dieser Prob®eme ist die Berechnung der F®ächeninha®te von Figuren, deren Begrenzungen gekrümmt sind. Man kann versuchen, die F®äche mit geometrischen Formen zu fü®®en, deren F®ächeninha®te man berechnen kann (z.B. mit Quadraten oder Kreisen), aber das wird nicht immer vo®®kommen ge®ingen. Bestenfa®®s kann man eine Annäherung an den F®ächeninha®t optimieren, indem man die F®äche mit immer k®eineren Figuren fü®®t. Dieses Kapite® enthä®t (fast unscheinbar und ganz zum Sch®uss) noch eine weitere faszinierende Erkenntnis: Unend®ich ®ange F®ächen sind nicht unbedingt unend®ich groß! Einer der beiden F®ächeninha®te dieser sich bis ins Unend®iche ausdehnenden F®ächen ist nicht unend®ich groß. We®cher das ist, wirst du nach Er®ernen dieses Kapite®s se®bst herausfinden und diesen F®ächeninha®t se®bst berechnen können. x f(x) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 f (x) = 1 –x x f(x) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 f (x) = 1 – x2 Das Prob®em: Bestimme den F®ächeninha®t dieser Figur. tammfunktion Die mathematische Ma®ermeisterin! Ich kann mit nur einem Farbtopf eine unend®ich große F®äche ausma®en! Den Mathematikern Newton und Leibniz ist es sch®ieß®ich ge®ungen, dieses Jahrtausend-Prob®em zwar nicht für a®®e, aber für sehr vie®e Fä®®e zu ®ösen. Bemerkenswert ist dabei auch, dass es zwar sehr schwierig war, die Lösung dieses Prob®ems zu finden, das Anwenden der Lösung se®bst aber verhä®tnismäßig einfach ist – so einfach, dass du nach Er®ernen dieses Kapite®s se®bst die F®ächeninha®te vie®er so®cher gekrümmten F®ächen berechnen können wirst. Die Hi®fe zur Lösung dieses Prob®ems kommt dabei von recht unerwarteter Seite: den Stammfunktionen, Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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