238 Maturavorbereitung: Analysis > Analysis 10 Summation und Integral Ober- und Untersummen Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Zerlegt man das Intervall [a; b] in n gleich große Teilintervalle der Breite ∆x = b − a _ n und bezeichnet mit m 1, m 2, …, mn die Minimumstellen und mit M 1, M 2, …, Mn die Maximumstellen von f in den einzelnen Intervallen, dann nennt man – U n = ∆x·f(m 1) + ∆x·f(m 2) + … + ∆x·f(m n) = ∑ i = 1 n ∆ x · f(m i) Untersumme von f in [a; b]. – O n = ∆x·f(M 1) + ∆x·f(M 2) + … + ∆x·f(M n) = ∑ i = 1 n ∆ x · f(M i) Obersumme von f in [a; b]. Das bestimmte Integral Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann kann das bestimmte Integral von f in [a; b] als Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden. Es gilt: : a b f(x)dx ≈ ∑ i f(x i) · ∆ x Das bestimmte Integral : a b f(x)dx ist jener Wert, der zwischen allen Unter- und Obersummen liegt. Rechenregeln für bestimmte Integrale Sind f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen, F eine Stammfunktion von f und k eine reelle Zahl (≠ 0), dann gelten folgende Regeln. Summen- und Differenzenregel Regel vom konstanten Faktor : a b (f(x) ± g(x))dx = : a b f(x)dx ± : a b g(x)dx : a b k · f(x)dx = k · : a b f(x)dx Konstantenregel : a b f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x) a b Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale (1) : a b f(x)dx + : b c f(x)dx = : a c f(x)dx (2) : a b f(x)dx = − : b a f(x)dx (3) : a a f(x)dx = 0 Stammfunktionen spezieller Funktionen f(x) = sin(x) g(x) = cos(x) h(x) = e x F(x) = − cos(x) G(x) = sin(x) H(x) = e x Das bestimmte Integral in Kontexten Ist f‘(x) = df _ dx die momentane Änderungsrate der Größe f, so bedeutet der Ausdruck : a b f‘(x)dx = f(b) − f(a) die absolute Änderung der Größe f im Intervall [a; b]. Die Arbeit Wirkt auf einen Körper entlang eines Weges von Stelle a nach Stelle b die vom Ort s abhängige Kraft F(s), so wird dabei die Arbeit W verrichtet: W = : a b F(s)ds Wird vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t2 die veränderliche Leistung P(t)erbracht, so wird dabei die Arbeit W verrichtet: W = : t 1 t 2 P(t)dt Merke AN-R 4.1 AN-R 4.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 AN-R 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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