237 Maturavorbereitung: Analysis > Analysis Monotonie einer Polynomfunktion f mit Hilfe von f‘ – f‘(x) > 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist in [a; b] streng monoton steigend – f‘(x) < 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f ist in [a; b] streng monoton fallend Krümmung einer Funktion f Eine Funktion f : D → ℝ, wobei [a; b] eine Teilmenge von D ist, heißt – linksgekrümmt in [a; b], wenn f‘ in [a; b] streng monoton steigend ist. – rechtsgekrümmt in [a; b], wenn f‘ in [a; b] streng monoton fallend ist. – einheitlich gekrümmt in [a; b], wenn f in [a; b] nur linksgekrümmt oder nur rechtsgekrümmt ist. – f‘‘(x) > 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f linksgekrümmt in [a; b] – f‘‘(x) < 0 für alle x ∈ (a; b) ⇒ f rechtsgekrümmt in [a; b] Nullstellen und Extremstellen einer Polynomfunktion f – p ist Nullstelle von f ⇔ f(p) = 0 – p ist eine lokale Extremstelle ⇔ f‘(p) = 0 und f ändert an der Stelle p ihr Monotonieverhalten – Ist f‘(p) = 0 und f‘‘(p) < 0, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. Der Punkt P = (p|f(p)) wird Hochpunkt genannt. – Ist f‘(p) = 0 und f‘‘(p) > 0, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Der Punkt P = (p|f(p)) wird Tiefpunkt genannt. Wendestellen – Eine Stelle p heißt Wendestelle einer Funktion f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt P = (p|f(p)) wird Wendepunkt genannt. – f‘‘(p) = 0 und f ändert an der Stelle p ihr Krümmungsverhalten ⇒ p ist Wendestelle – Sei f : D → ℝ mit p ∈ D eine Polynomfunktion, dann gilt: Ist f‘‘(p) = 0 und f‘‘‘(p) ≠ 0, dann ist p eine Wendestelle von f. Sattelstelle/Terrassenstelle einer Polynomfunktion f Ist f‘(p) = 0 und findet an dieser Stelle kein Monotonie- wechsel statt, dann nennt man p eine Sattel- oder Terrassenstelle von f. rechtsgekrümmt/ negativ gekrümmt (trauriges Gesicht) linksgekrümmt/ positiv gekrümmt (lachendes Gesicht) x f(x) 2 4 2 4 0 f x f(x) 2 4 2 4 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 68 –4 –2 0 f Tiefpunkt Hochpunkt Wendepunkt Nullstellen x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f Sattelstelle AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 AN-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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