236 Maturavorbereitung: Analysis > Analysis 10 Änderungsmaße Sei f eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a; b] definiert ist. Dann heißt – f(b) − f(a) absolute Änderung von f in [a; b]. – f(b) − f(a) _ b − a mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f in [a; b]. – f(b) − f(a) _ f(a) relative Änderung von f in [a; b]. – f(b) − f(a) _ f(a) · 100 prozentuelle Änderung von f in [a; b]. – df _ dx = f‘(x)= lim z→x f(z) − f(x) _ z − x momentane Änderungsrate (Differentialquotient, 1. Ableitung) von f an der Stelle x. Differenzen- und Differentialquotient Den Differenzenquotienten (mittlere Änderungsrate) einer Funktion f in [a; b] kann man als Steigung k der Sekante von f in [a; b]interpretieren. Der Differentialquotient von f an der Stelle x ist die Steigung der Tangente im Punkt P = (x|f(x)). Die Steigung dieser Tangente wird oft auch als die Steigung von f an der Stelle x bezeichnet. Regeln für das Differenzieren Regel vom konstanten Faktor f(x) = k · g(x) ⇒ f‘(x) = k · g‘(x) Ableitung der konstanten Funktion f(x) = c, (c ∈ ℝ) ⇒ f‘(x) = 0 Ableitung einer Summe bzw. einer Differenz f(x) = g(x) ± h(x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) ± h‘(x) Ableitungen spezieller Funktionen f(x) = sin(x); f‘(x) = cos(x) g(x) = cos(x); g‘(x) = − sin(x) h(x) = e x; h‘(x) = e x Ableitungsfunktion/Stammfunktion Sind f und F zwei beliebige stetige Funktionen mit derselben Definitionsmenge D, dann nennt man F Stammfunktion von f, wenn gilt: F‘(x) = f(x) für alle x ∈ D bzw. F(x) +c=∫f(x)dx Ist die Definitionsmenge D von f ein Intervall (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine reelle Konstante c. Es gilt: F(x) − G(x) = c Das Finden einer Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integrieren genannt. Merke x y 2 4 6 b 8 10 –2 2 a 4 6 –4 –2 0 f Sekante von f in [a; b] P = (x|f(x)) Tangente von f an der Stelle x Merke AN-R 1.1 AN-R 1.2 AN-R 1.2 AN-R 2.1 AN-R 2.1 AN-R 3.1 AN-R 3.2 AN-R 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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