208 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten > Funktionale Abhängigkeiten 9 Exponentialfunktion f(x)= a·bx bzw. f(x)= a·eλ·x mit a, b ∈ ℝ +, λ ∈ ℝ Exponentialfunktion f(x)= a·bx (a ∈ ℝ\{0} und b ∈ ℝ +) natürliche Exponentialfunktion: f(x)= a·eλ·x mit λ ∈ ℝ;b=eλ bzw. λ = ln(b) Wertepaare ermitteln Funktionswerte ermitteln: für x Zahlen in den Funktionsterm einsetzen bzw. aus Tabellen und Graphen für bestimmte x-Werte die entsprechenden y-Werte ablesen Argumente ermitteln: für gegebene y-Werte die entsprechenden x-Werte aus Tabellen oder Graphen ablesen bzw. die Exponentialgleichung a · b x = y nach x lösen Wirkung der Parameter a und b f(x) = a · b x f(x) = a · e λ·x exponentielles Wachstum b > 1 λ > 0 exponentielle Abnahme 0 < b < 1 λ < 0 Charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktion f(x)= a·bx Es gilt: f(0) = a und f(x + 1) = f(x) · b bzw. f(x + h) = f(x) · b h Halbwertszeit/Verdopplungszeit N(t) = N 0 · e λ·t beschreibt einen Änderungsprozess. Halbwertszeit τ: Zeit, in der sich N halbiert: → τ = ln(0,5) _ λ Verdopplungszeit T: Zeit, in der sich N verdoppelt: → T = ln(2) _ λ Exponentieller Zusammenhang Vergrößert man das Argument einer Exponentialfunktion um 1 (um n), dann ändert sich der Funktionswert um das b-Fache (auf das b n-Fache). Sinusfunktion, Cosinusfunktion Sinusfunktion Für f mit f(x) = a · sin(b · x) gilt: Wirkung der Parameter a und b Für die Parameter a und b in der Funktionsgleichung f(x) = a · sin(b · x) gilt: a … maximale Auslenkung b … Anzahl der kompletten Schwingungen auf einer Länge von 2π Periodizität Für die (kleinste) Periodenlänge p der Funktion f mit f(x) = a · sin(b · x) gilt: p = 2 π _ b Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion entlang der x-Achse um π _ 2 nach links, erhält man den Graphen der Cosinusfunktion. sin(x + π _ 2 )= cos(x) Ableitung der Winkelfunktionen [sin(x)]‘ = cos(x) [cos(x)]‘ = − sin(x) Merke Merke x f(x) f 0 π 2π π – 2 3π – 2 a 2 π_ b x f(x), g(x) – 0 π 2π –1 1 π – 2 π – 2 π – 2 3π – 2 g(x) = sin(x) f(x) = cos(x) FA-R 5.1 FA-R 6.1 FA-R 6.3 FA-R 6.4 FA-R 6.5 FA-R 6.6 FA-R 5.2 FA-R 5.3 FA-R 5.4 FA-R 5.5 FA-R 5.6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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