207 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten > Funktionale Abhängigkeiten Potenzfunktionen mit f(x)= a·xz und Funktionen vom Typ f(x)= a·xz + b mit z ∈ ℤ\{0} oder z = 1 _ 2 Potenzfunktion f(x)= a·xr, a, r ∈ ℝ, a ≠ 0 – Ist der Exponent gerade, dann ist die Funktion gerade. – Ist der Exponent ungerade, dann ist die Funktion ungerade. Wurzelfunktion: f(x) = x 1 _ 2 = 9 _ xmit D = ℝ 0 + Parameter a und b bestimmen Bei Funktionen der Form f(x)= a·xr + b, r ∈ ℤ, a, b ∈ ℝ und f(x 1) = y 1 gilt: f(0) = b (für r ≠ 0) f(0) = a + b (für r = 0) y 1 − b _ x 1 r = a Wirkung der Parameter a und b – Ist |a| > 1 wird die ursprüngliche Potenzfunktion x r entlang der y-Achse gestreckt. – Ist |a| < 1 wird die ursprüngliche Potenzfunktion x r entlang der y-Achse gestaucht. – b bewirkt eine Verschiebung des Graphen von a · xr entlang der y-Achse. Indirekte Proportionalität Zwischen den Größen x und y besteht ein indirekt proportionaler Zusammenhang, wenn gilt: y = k _ x , k ∈ ℝ + (k = x · y … Proportionalitätsfaktor) Polynomfunktion f(x) = ∑ i = 0 n a i x i mit n ∈ ℕ Verläufe von Polynomfunktionen Eine Funktion der Form f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 +…+a 1 x + a0mit a0, a 1, a 2, a 3, …, a n ∈ ℝ, a n ≠ 0 und n ∈ ℕ\{0} nennt man Polynomfunktion n-ten Grades. Mögliche Verläufe von Funktionsgraphen: n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Ablesen von Wertepaaren x y x2 x1 y1 y2 0 f Funktionswerte und Argumente ermitteln Funktionswerte ermitteln: für x Zahlen in den Funktionsterm einsetzen bzw. aus Tabellen und Graphen für bestimmte x-Werte die entsprechenden y-Werte ablesen Argumente ermitteln: für gegebene y-Werte die entsprechenden x-Werte aus Tabellen oder Graphen ablesen bzw. die Gleichung f(x) = y nach x lösen Grad der Funktion ⇔ Anzahl der Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen Eine Polynomfunktion n-ten Grades besitzt – höchstens n Nullstellen – höchstens n − 1 Extremstellen – höchstens n − 2 Wendestellen. Merke Merke FA-R 3.1 FA-R 4.1 FA-R 4.2 FA-R 4.3 FA-R 4.4 FA-R 3.2 FA-R 3.3 FA-R 3.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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