206 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten > Funktionale Abhängigkeiten 9 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen f: D f → ℝ und g: Dg → ℝ sind zwei reelle Funktionen mit D f, g ⊆ ℝ. x 1 ist eine Schnittstelle von f und g, wenn f(x 1) = g(x 1) gilt. Funktionen als mathematische Modelle Die Funktion K(x)= a x3 + b x2 + c x + d kann z.B. die Gesamtkosten bei der Produktion von x Mengeneinheiten einer Ware beschreiben. Deuten von Formeln als Funktionen Das Volumen V(r, h) = 1 _ 3 · r 2 · π · h eines Drehkegels z.B. kann als Funktion in Abhängigkeit von r und h aufgefasst werden. Eine Änderung von r und/oder h wirkt sich auch auf das Volumen V aus. Typen mathematischer Funktionen Je nach Funktionsterm bzw. Graph unterscheidet man zwischen diversen Funktionstypen, z.B. linearen Funktionen, Potenz-, Polynom-, Exponential- oder Winkelfunktionen. Lineare Funktion f(x) = k · x + d f(x) = k · x + d (mit k, d ∈ ℝ) Der Graph ist immer eine Gerade. Die Parameter k und d Der Parameter d ist der Funktionswert an der Stelle x = 0: f(0) = d Die Steigung k kann aus zwei beliebigen Wertepaaren ermittelt werden: k = ∆ y _ ∆ x = Differenz der Funktionswerte zweier Punkte ______________________ Differenz der Argumente der Punkte (Differenzenquotient) Wirkung der Parameter k und d S = (0|d ) ist der Schnittpunkt des Graphen einer linearen Funktion mit der senkrechten Achse. Eine lineare Funktion mit d = 0 verläuft durch den Ursprung und heißt homogen, mit d ≠ 0 inhomogen. k … Änderung der Funktionswerte, wenn das Argument x um eins vergrößert wird k > 0 … der Graph ist steigend k < 0 … der Graph ist fallend k = 0 … der Graph ist parallel zur x-Achse (waagrecht) Charakteristische Eigenschaften einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d Wird das Argument x um 1 vergrößert, ändern sich die Funktionswerte um k: f(x + 1) = f(x) + k In jedem Intervall [x 1; x 2] gilt: f(x 2) − f(x 1) _ x 2 − x 1 =k=f‘(x) Linearer Zusammenhang Zwischen zwei Größen x und y besteht ein linearer Zusammenhang, wenn sich für gleich lange x-Intervalle die Funktionswerte y immer um denselben Wert k ändern. Direkte Proportionalität Zwischen x und y besteht ein direkt proportionaler Zusammenhang, wenn gilt: y = k · x, k ∈ ℝ + (k = y _ x … Proportionalitätsfaktor) Merke FA-R 1.6 FA-R 1.7 FA-R 1.8 FA-R 1.9 FA-R 2.1 FA-R 2.1 FA-R 2.2 FA-R 2.3 FA-R 2.4 FA-R 2.5 FA-R 2.6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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