184 Maturavorbereitung: Algebra und Geometrie > Algebra und Geometrie 8 Grundbegriffe der Algebra Zahlenmengen ℕ … Menge der natürlichen Zahlen ℤ … Menge der ganzen Zahlen ℚ = { p _ q| p ∈ ℤ und q ∈ ℤ und q ≠ 0} … Menge der rationalen Zahlen ℝ … Menge der reellen Zahlen ℝ\ℚ … Menge der irrationalen Zahlen ℂ … Menge der komplexen Zahlen Algebraische Begriffe – Term: sinnvoller mathematischer Ausdruck (z.B. 3 a − 2 b; 3,4) – Formel: beschreibt den Zusammenhang zwischen Größen (z.B. u = 2 · (a + b)) – Gleichung: zwei mit einem Gleichheitszeichen verbundene Terme (z.B. 3 x − 2 = x + 5) – Lösung: Variablenwert(e), für den (die) die Gleichung wahr ist Äquivalente Gleichungen besitzen dieselbe(n) Lösung(en). (Un-) Gleichungen und Gleichungssysteme Terme und Formeln z.B. 35 % von x Euro ⇒ 0,35 · x A = a · b _ 2 ⇒ b = 2 A _ a Äquivalenzumformungen Auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zahl addiert bzw. subtrahiert. Beide Seiten der Gleichung werden mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert bzw. durch diese dividiert. Die Lösungsmenge der Gleichung ändert sich dadurch nicht. Lineare Gleichungen – Lineare Gleichungen mit einer Variablen: a · x + b = 0 (a, b ∈ ℝ, a ≠ 0) – Eine lineare Gleichung mit einer Variablen hat genau eine Lösung. – Lineare Gleichungen mit zwei Variablen: a · x + b · y + c = 0 (a, b ∈ ℝ, nicht gleichzeitig 0) Alle Zahlenpaare (x|y), die die Gleichung erfüllen, bilden die Lösungsmenge. – Geometrisch sind das alle Punke (x|y), die auf der zugehörigen Geraden liegen. – Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen kann als Gleichung einer Geraden angesehen werden. Quadratische Gleichungen – Quadratische Gleichung: a · x2 + b · x + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0). – normierte quadratische Gleichung: x 2 + p · x + q = 0 – Lösungsformeln: x1,2 = − b ± 9 _b 2 − 4 a c _ 2 a bzw. x1,2 = − p _ 2 ± 9 _ p 2 _ 4 − qmit den Diskriminanten D = b 2 − 4 a c bzw. D = p 2 _ 4 − q – Lösungsfälle einer quadratische Gleichung mit der Diskriminante D: – D > 0 → zwei reelle Lösungen – D = 0 → eine reelle Lösung – D < 0 → keine reelle Lösung Merke Merke N Z Q R C I AG-R 1.1 AG-R 1.2 AG-R 2.1 AG-R 2.2 AG-R 2.2 AG-R 2.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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