1 Algebra und Geometrie 1.1 Grundbegriffe der Algebra AG 1.1 Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R, C verständig einsetzen können AG 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit 1.2 (Un-) Gleichungen und Gleichungssysteme AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen können; über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können 1.3 Vektoren AG 3.1 Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können AG 3.2 Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können AG 3.3 Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können AG 3.4 Geraden durch (Parameter-) Gleichungen in R2 und R3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren und Schnittpunkte ermitteln können AG 3.5 Normalvektoren in R2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können 1.4 Trigonometrie AG 4.1 Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkliger Dreiecke einsetzen können AG 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können 2 Funktionale Abhängigkeiten 2.1 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften FA 1.1 Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann FA 1.2 Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können FA 1.3 Zwischen tabellarischen und graphischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können geübt geübt geübt geübt geübt Checkliste Grundkompetenzen Checkliste Grundkompetenzen Funktionale Abhängigkeiten 12 211 Zerfall von Palladium-114 Der Zerfall einer Menge von 24 Gramm des radioaktiven Isotops Palladium-114 kann durch eine Exponentialfunktion modelliert werden, deren Graph in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Aufgabenstellung: Geben Sie eine Funktionsgleichung für diesen Zerfall von Palladium-114 an. N(t) = 212 Sinusfunktionen Der Graph einer Sinusfunktion f von der Form f(x) = a · sin(b · x) ist in der untenstehenden Abbildung dargestellt. Im Folgenden sind Graphen von Sinusfunktionen g, h, i und j gegeben, die durch Änderung der Parameter a und b aus dem Graphen der Funktion f hervorgehen. Aufgabenstellung: Ordnen Sie die Änderungen der Parameter a und b den entsprechenden Graphen der Sinusfunktionen korrekt zu. 1 0 π – 2 3π – 2 π x 2 g –2 g(x) 2 0 π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π 7π – 2 3π x 2 4 h –2 –4 h(x) M1 FA-R 5.1 t N(t) 12345678910 4 8 12 16 20 24 28 0 N M1 FA-R 6.3 0 π – 2 3π – 2 5π – 2 π 2π 7π – 2 3π x 2 f –2 f(x) A a wird verdoppelt und b wird halbiert. B a wird halbiert und b wird halbiert. C a wird verdreifacht und b wird verdoppelt. D a wird halbiert und b wird verdreifacht. E a wird verdoppelt und b wird verdoppelt. F a wird verdreifacht und b wird verdreifacht. 78 Probematura 2 M 3 0 π – 2 3π – 2 π x 2 4 i –2 –4 i(x) 4 0 π – 2 3π – 2 π x 2 4 j –2 –4 –6 6 j(x) 213 Treibhausgas-Emissionen Die nachstehende Tabelle zeigt die Höhe der Treibhausgas – Emissionen in Österreich für bestimmte Jahre. (https://de.statista.com/statistik/daten/studie/961595/umfrage/treibhausgas-emissionen-in-oesterreich/) Jahr 2018 2020 2022 Treibhausgas-Emissionen in Millionen Tonnen 78,6 73,6 72,8 Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Werte der nachstehend angegebenen Größen. absolute Änderung der Treibhausgas-Emissionen von 2018 auf 2022: Millionen Tonnen relative Änderung der Treibhausgas-Emissionen von 2018 – 2022: Millionen Tonnen 214 Differenzenquotient In der untenstehenden Abbildung ist die Funktion f durch ihren Graphen gegeben. Aufgabenstellung: Ermitteln Sie den Differenzenquotienten D der Funktion f im Intervall [‒ 2; 4]. D = M1 AN-R 1.1 M1 AN-R 1.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –2 –1 0 f 79 Erwartungswert einer Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X kann die Werte 5, 10 und 15 annehmen. Es sind folgende Informationen bekannt: P(X = 5) = a, P(X = 10) = b, P(X = 15) = a (a, b * R) Aufgabenstellung: Geben Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X an. Gewinnspiel mit einem Würfel Ein fairer achtseitiger Würfel wird geworfen. Je nach geworfener Augenzahl wird der ein Gewinn ausbezahlt. Die Beträge können der Tabelle entnommen werden (a * R+). Augenzahl 1 2 3 4 5 6 7 8 Auszahlungsbetrag 0 € a € 0 € a € 0 € 0 € 4 a € a € Der Würfel wird einmal geworfen. Die Zufallsvariable X steht für den Auszahlungsbetrag. Für den Erwartungswert von X gilt: E(X) = 1,925 Aufgabenstellung: Ermitteln Sie a! Berechnen der Standardabweichung Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Standardabweichung von X. Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zwei Zufallsvariablen X und Y können die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen. Die beiden gegebenen Abbildungen zeigen die Verteilungen der Zufallsvariablen X und Y. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Der Erwartungswert von X stimmt mit dem Erwartungswert von Y überein. B Die Standardabweichung von X stimmt mit der Standardabweichung von Y überein. C P(X > 3) > P(Y > 3) D Die Zufallsvariablen von X und Y sind binomialverteilt. E P(1 < X < 6) < P(2 < Y < 5) Erwartungswert verständig deuten und einsetzen WS 3.1 M1 235 Erwartungswert verständig deuten und einsetzen WS 3.1 M1 236 WS 3.1 M1 237 i 0 1 2 P(X = i) 0,35 0,46 0,19 Standardabweichung berechnen WS 3.1 M1 238 Erwartungswert und Standardabweichung verständig einsetzen x P(X= x) 1 2 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0 y P(Y = y) 1 2 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0 86 4 Wahrscheinlichkeit und Statistik Umsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich Im nachstehenden Säulendiagramm ist der Umsatz, der in Österreich durch den Verkauf von FairtradeProdukten in den Jahren 2002 bis 2022 erzielt wurde, dargestellt. Quelle: Fairtrade Österreich. (14. April,2023). Gesamtumsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich von 2022 bis 2022 (in Mio. Euro). In Statista. Zugriff am 12. April 2024, von https://de.statista.com/statistik/daten/studie/435432/umfrage/ umsatz-mit-fairtrade-produkten-in-oesterreich/ Aufgabenstellung: a) Die zeitliche Entwicklung des Umsatzes durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten in den Jahren 2002 bis 2022 lässt sich durch die Exponentialfunktion f modellieren. t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2002 f(t) … Umsatz durch den Verkauf von Fairtrade-Produkten zur Zeit t in Mio. Euro 1) Stellen Sie mithilfe der Daten aus den Jahren 2002 und 2022 eine Funktionsgleichung von f auf. Luis behauptet: „Laut diesem Modell wird der Umsatz durch den Verkauf von FairtradeProdukten im Jahr 2025 um mehr als 100 % größer sein als im Jahr 2020.“ 2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Behauptung von Luis stimmt. In der nebenstehenden Abbildung ist die Umsatzverteilung nach Produktkategorien im Jahr 2020 dargestellt. 3) Berechnen Sie mithilfe der Funktion f, welcher Umsatz durch den Verkauf von Schokolade & Süßwaren und Bananen im Jahr 2020 erzielt wurde. b) Laut einer Studie vom Jahr 2023 kennen 95 % der Österreicher/innen das sogenannte Fairtrade-Siegel. 49 % aller Österreicher/innen, die das Fairtrade-Siegel kennen, gaben dabei an, regelmäßig Fairtrade-Produkte zu kaufen. Für eine Umfrage werden 150 Österreicher/innen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. 1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 dieser 150 Österreicher/innen das Fairtrade-Siegel kennen und regelmäßig Fairtrade-Produkte kaufen. M2 253 K Technologie Anleitung Technologie- einsatz bei dieser Aufgabe XXXXXX 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 Gesamtumsatz mit Fairtrade-Produkten in Österreich von 2002 bis 2022 (in Mio. Euro) Umsatz in Millionen Euro FA 5.2 WS 1.1 AN 1.1 FA 5.2 Umsatzverteilung nach Produktkategorien 48 % 18 % 14 % 5 % 2 % 4 % VERTEILUNG in Prozent des Gesamtumsatzes (geschätzt) Convenience-Produkte Grundnahrungsmittel Baumwolle Alkoholfreie Getränke Fruchtsäfte Rosen Kaffee & Heißgetränke Schokolade & Süßwaren Bananen 5 % 2 % 2 % WS 1.1 AG 2.1 WS 2.3 Quelle: https://www.fairtrade.at/fileadmin/AT/Jahresrueckblick/2020_Jahresbericht_Zahlen_Web.pdf 96 5 Teil-2-Aufgaben durchgerechnete Lösungen a8yx4i 1.1 Grundbegriffe der Algebra AG 1.1 Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R, C verständig einsetzen können Mengen Gegeben ist die Menge J = {x * Z † 10 < x < 13}. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Die Menge enthält vier reelle Zahlen. B Die Menge enthält zwei komplexe Zahlen. C Die Menge enthält vier ganze Zahlen. D Jede Zahl der Menge ist eine natürliche Zahl. E Die Menge enthält unendlich viele reelle Zahlen. Rationale Zahlen Gegeben sind verschiedene Zahlen. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden positiven rationalen Zahlen an. [2 aus 5] A B C D E 9___ 6,25 ‒ 7, ˙1 1 _ 3 9__ 21 1 _ 2 _ 2 ‒ 9_ 4 Vergleich zweier Mengen Die Menge A = {x * N | 0 < x < 5} ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und die Menge B = {x * Q | 0 < x < 5} ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden korrekten Aussagen an. [2 aus 5] A Beide Mengen A und B enthalten gleich viele Zahlen. B Die Menge B ist eine Teilmenge der Menge A. C Die Menge A enthält Zahlen, die größer als 4 sind. D Beide Mengen enthalten die Zahl 2. E Die Menge A ist eine Teilmenge der Menge B. AG 1.1 M1 1 Wissen über Zahlenmengen einsetzen AG 1.1 M1 2 Wissen über Zahlenmengen einsetzen AG 1.1 M1 3 Wissen über Zahlenmengen einsetzen 1 Algebra und Geometrie 1 Algebra und Geometrie Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra 16 181 Arbeitsheft Maturatraining Im Lösungswege Arbeitsheft 8 befinden sich zwei Probe-Maturen. 1 zwei Test®äufe Die Typ-1- und Typ-2-Aufgaben sind genauso geste®®t, wie bei der Reifeprüfung. 1 mit Lösungen im Anhang Zu Beginn des Maturatrainings sind a®®e 73 Grundkompetenzen aufge®istet. 1 Übersicht erha®ten Zu jeder Grundkompetenz gibt es eine Samm®ung von gestaffe®ten Aufgaben, die auf Tei®kompetenzen eingehen. 1 Tei®kompetenzen erarbeiten Ein Kapite® mit Typ-2-Aufgaben sch®ießt das Maturatraining ab. 1 weiteres Materia® zum Üben A®®e Lösungen sind im Anhang. 1 ®eicht gemachtes Überprüfen Wie man an die einze®nen Aufgabenformate herangehen kann, wird im ersten Kapite® gezeigt. 1 p®anvo®®es Vorgehen hi®ft Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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