239 Maturavorbereitung: Analysis > Änderungsmaße 10.1 Änderungsmaße AN-R 1.1 Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können In einer Stadt gab es im Jahr 2011 E 0 Einbrüche. Im Jahr 2016 waren es E 5 Einbrüche. Folgender Zusammenhang ist bekannt: E 5 − E 0 _ E 0 = 0,1252. Kreuze die beiden jedenfalls zutreffenden Aussagen an. A Die relative Änderungsrate der Anzahl der Einbrüche von 2011 auf 2016 ist 0,8748. B Die Zahl der Einbrüche hat von 2011 auf 2016 um 12,52 % zugenommen. C Die absolute Änderung der Anzahl der Einbrüche von 2011 auf 2016 ist 12,52. D Die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Einbrüche von 2011 auf 2016 ist positiv. E Die Anzahl der Einbrüche hat von 2011 bis 2016 jährlich zugenommen. Die Funktion Z beschreibt die Zugriffe auf ein Youtube-Video in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden). Interpretiere für t 1 < t 2 den Ausdruck Z ( t 2 ) − Z ( t 1 ) _ Z ( t 1 ) im gegebenen Kontext. Im Jahr 2021 gab es in Wien u standesamtliche Hochzeiten. Im Jahr 2024 gab es in Wien v standesamtliche Hochzeiten. Ergänze die Lücken durch Ankreuzen so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Der Ausdruck (1) beschreibt die absolute Änderung der standesamtlichen Hochzeiten in Wien von 2021 auf 2024, der Ausdruck (2) beschreibt die durchschnittliche Änderung der Hochzeiten von 2021 auf 2024 pro Jahr. (1) (2) v − u v − u _ 3 v _ u v − u _ 2 u − v _ 3 u − v _ 3 Ein Computer kostet im Jänner 750 €. Drei Monate später kostet das Gerät nur mehr 535 €. Berechne die relative Änderung des Preises des Computers von Jänner bis April und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. Gegeben ist der Graph einer Funktion f in [0; 9] . Berechne die absolute und die relative Änderung von f in [0; 9] . Alle benötigten Werte sind ganzzahlig und können aus dem Graphen abgelesen werden. absolute Änderung: relative Änderung: AN-R 1.1 M1 687 AN-R 1.1 M1 688 AN-R 1.1 M1 689 AN-R 1.1 M1 690 AN-R 1.1 M1 691 x f(x) 1234567891011 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 0 f 231 Weg zur Matura Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Die Atmosphäre der Erde Mit zunehmender Seehöhe (Höhe über dem Meeresspiegel) verändern sich die Bedingungen der Atmosphäre der Erde. In der nachstehenden Abbildung sind der Druck, die Dichte und die Temperatur in verschiedenen Seehöhen dargestellt. 0 10 12 180 200 220 240 260 280 K °C Temperatur in °C und Kelvin –80 –60 –40 –20 0 20 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Höhe h (km) Thermosphäre Mesopause Mesosphäre Stratopause Stratosphäre Tropopause Troposphäre 500 225 1013 100 10 1 0,01 0,001 Druck p (hPa) 0,697 0,364 1,225 0,076 0,015 0,0014 20 · 10–4 4,4 · 10–6 Dichte der Luft ή (kg/m3) 5 12 18 48 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Höhe h (km) a) Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Seehöhe ab. Bei konstanter Temperatur kann der Luftdruck in Abhängigkeit von der Seehöhe mithilfe der Exponentialfunktion p modelliert werden. p (h) = p 0 · e λ·h h … Seehöhe in m p ( h ) … Luftdruck in der Seehöhe h in hPa p 0 , λ … reelle Parameter An einem bestimmten Tag wurde in einer Seehöhe von 1 500m ein Luftdruck von 835 hPa und in einer Seehöhe von 4 000m ein Luftdruck von 605 hPa gemessen. 1) Ermittle die Parameter p 0 und λ . Das Modell liefert nur für Seehöhen bis 11 000 m passende Werte. 2) Berechne, um wie viel Prozent der mit p ermittelte Wert für den Luftdruck in einer Seehöhe von 80 km vom entsprechenden Wert in der obigen Abbildung abweicht. b) Mia möchte eine Funktion für die Dichte der Luft in Abhängigkeit von der Seehöhe im Höhenintervall [5; 18] aufstellen. Aufgrund der in der obigen Abbildung angeführten Werte für die Seehöhen von 5 km, 12 km und 18 km nimmt sie an, dass diese Funktion näherungsweise linear ist. 1) Zeige rechnerisch mithilfe der Werte der obigen Abbildung, dass diese Annahme sinnvoll ist. c) Die Temperatur kann in Abhängigkeit von der Seehöhe im Höhenintervall [0; 110] durch eine Funktion T modelliert werden. Entsprechende Werte können der obigen Abbildung entnommen werden. 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A In einer Seehöhe von 12 km beträgt die Temperatur weniger als 200 K. B Im Höhenintervall [48; 80] gilt für alle Seehöhen h 1 , h 2 mit h 1 < h 2 , dass T ( h 1 ) ≤ T ( h 2 ) ist. C Die Funktion T ist im Intervall [12; 48] streng monoton steigend. D Im Höhenintervall [48; 80] beträgt die Temperatur stets weniger als 0°C. E Die Funktion T besitzt im Intervall [0; 110] ein eindeutiges globales Maximum. M2 684 K FA-R 15.71 FA-R 15.71 FA-R 5.1 FA-R 2.2 FA-R 2.5 FA-R 2.2 FA-R 2.5 FA-R 1.5 FA-R 1.7 268 Chemie Technik Bio®ogie Geo®ogie 12 Maturavorbereitung: Vernetzungsaufgaben – Typ 2 Mathematik 182 8 8 Maturavorbereitung: Algebra und Geometrie G®eichungen, Ung®eichungen und G®eichungssysteme C P 17 3 N Z Q R 1 8 25 0 – 7 – 5,348762… – 1,3 – 4,18 23,29 – 4 e i 2 + 3 i – 239 – 71 2 – 5 π 17 – 5 – 7 – 3 3 – 4 2,353 _ Grundbegriffe der A®gebra Vektoren Trigonometrie _ À a · _ À b = 2 a x a y a z 3 · 2 b x b y b z 3 = a x b x + a y b y + a z b z y = 2 2 3 3 + t · 2 5 2 3 AG-R 1.1 – AG-R 4.2 3 + a 4 a 2 a 2 b b + – – x Äquiva®enz Gleichungssysteme I 4 x + 9 y + 5 z = 13 II ‒ 5 x + 6 y + 3 z = 17 III 6 x + 3 y – 10 z = 23 I 4 x + 9 y + 5 z = 13 II ‒17x + 23z = ‒29 III ‒14x + 35z = ‒56 I 4 x + 9 y + 5 z = 13 II ‒17x + 23z = ‒29 III ‒ 273 z = ‒ 546 z = ‒ 2 Lösbarkeit g g g = h h h ≠, <, >, ≤ x2 + 5 – 2x x2 + 5 (2x + 5)x2 + 5 x2 · 5x (x + 3) x y 1 2 3 4 1 2 3 4 0 a + b a b 15° E C D B A y 1 0 M 1 – 1 – 1 x α cos(α) sin(α) tan(α) P r = 1 α β γ Gegenkathete zu β Hypotenuse A B C Ankathete zu β „Punkt oder Pfeil?“ „Vektor oder reelle Zahl?“ „R2 oder R3?“ 183 Maturavorbereitung: Algebra und Geometrie > Algebra und Geometrie Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra AG-R 1.1 Wissen über die Zahlenmengen ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ℂ verständig einsetzen können AG-R 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-) Gleichungen, Gleichungssysteme; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit (Un-) Gleichungen und Gleichungssysteme AG-R 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können AG-R 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können AG-R 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können AG-R 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können AG-R 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen können; über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können Vektoren AG-R 3.1 Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können AG-R 3.2 Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können AG-R 3.3 Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können AG-R 3.4 Geraden durch (Parameter-) Gleichungen in ℝ 2 und ℝ 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren und Schnittpunkte ermitteln können AG-R 3.5 Normalvektoren in ℝ 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können Trigonometrie AG-R 4.1 Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkliger Dreiecke einsetzen können AG-R 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können 180 zur Matura mit Lösungswege Liebe Schü®erin, lieber Schüler, auf dieser Doppelseite wird gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege dich in der achten Klasse auf die Matura vorbereiten kann, und zwar im – Schu®buch – Arbeitsheft – Maturatraining. Schu®buch Zu den vier Bereichen – A®gebra und Geometrie – Funktiona®e Abhängigkeiten – Ana®ysis – Wahrschein®ichkeit und Statistik gibt es Kapite® zur Matura-Vorbereitung. 1 a®®e Inha®te von K®asse 5 bis 8 Zu Beginn jedes Kapite®s werden a®®e Grundkompetenzen des Bereiches ge®istet. 1 a®®es auf einen B®ick Zu jeder Grundkompetenz gibt es eine Samm®ung von repräsentativen Aufgaben. 1 a®®es im Matura-Format Am Ende jedes Bereichs werden passende Typ-2-Aufgaben angeboten. 1 vernetzte Inha®te Das Kapite® 12 bietet eine umfangreiche Samm®ung von Typ-2-Aufgaben. 1 vie® Materia® zum Üben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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