18 Stammfunktionen > Weitere Integrationsregeln 1 Partielle Integration So wie es die Produktregel beim Differenzieren gibt, gibt es auch eine entsprechende Regel beim Integrieren, mit der sich manche Integrale berechnen lassen. Die Methode wird partielle Integration genannt und kann mit der Produktregel bewiesen werden. Partielle Integration Sind f und g zwei Funktionen, F eine Stammfunktion von f und g ‘die Ableitungsfunktion von g, dann gilt: ∫ f(x) · g(x)dx = F(x) · g(x) − ∫ F(x) · g‘(x)d x Berechne ∫ x · ln(x)dx. Es wird folgende Zuordnung gewählt: f(x) = x g(x) = ln(x) ⇒ F(x) = x 2 _ 2 g‘(x) = 1 _ x Durch Anwendung obiger Regel erhält man: ∫x·ln(x)dx = x 2 _ 2 · ln(x) − ∫ x 2 _ 2 · 1 _ x dx = x 2 _ 2 · ln(x) − ∫ x _ 2 dx = x 2 _ 2 · ln(x) − x 2 _ 4 + c Tipp: Überlege, welcher Faktor durch Ableiten einfacher wird. Berechne das unbestimmte Integral. a) ∫5x·ln(2 x)d x c) ∫x · sin(2 x)d x e) ∫3x·sin(4 x)dx b) ∫3x·ln(4 x)d x d) ∫x · cos(2 x)d x f) ∫6x·cos(2 x)d x Zusammenfassung Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Sind f und F zwei beliebige Funktionen mit derselben Definitionsmenge D, dann nennt man F Stammfunktion von f, wenn gilt: F‘(x) = f(x)für alle x ∈ Dbzw. ∫f(x)dx = F(x) + c (c ∈ ℝ) Ist die Definitionsmenge D von f ein Intervall (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine reelle Konstante c. Es gilt: F(x) − G(x) = c Das Finden einer Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integrieren genannt. Das unbestimmte Integrieren ist (bis auf eine additive Integrationskonstante c ∈ ℝ) die Umkehrung zum Differenzieren. Weitere Integrationsregeln Sind f und g zwei auf einem Intervall definierte Funktionen und F und G zwei Stammfunktionen von f bzw. g, k eine reelle Zahl (≠ 0), dann gilt: Summen- und Differenzenregel: ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx = F(x) ± G(x) Regel vom konstanten Faktor: ∫ k · f(x)dx = k·∫f(x)dx = k · F(x) Konstantenregel: ∫ f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x) Substitutionsregel: x = g(u) bzw. dx = g‘(u)du ⇒ ∫ f(x)dx = ∫f(g(u)) · g‘(u)d u Partielle Integration: ∫ f(x) · g(x)dx = F(x) · g(x) − ∫ F(x) · g‘(x)d x MerkeÓ Vertiefung Beweis partielle Integration jh2sz8 Muster 43 44 Ó Arbeitsblatt Partielle Integration j4i6bd Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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