17 1.3 Weitere Integrationsregeln Lernziele: º Die Substitutionsmethode anwenden können º Die partielle Integration anwenden können In Lösungswege 7 wurden die Produktregel und die Kettenregel erarbeitet. Ähnliche Regeln benötigt man auch, um komplexere Integrale zu berechnen. Die Produktregel und die Kettenregel Produktregel: f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) Kettenregel: f(x) = g(h(x)) ⇒ f‘(x) = g‘(h(x)) · h‘(x) („äußere Ableitung mal innere Ableitung“) Berechne die erste Ableitung von f mit der Produktregel. a) f(x) = (x − 5) · (2 x + 3) c) f(x) = (x 2 − 3) · cos(x) b) f(x) = (2 x + 3) · (1 − 5 x) d) f(x) = (3 x − 5) · sin(x) Berechne die erste Ableitung von f mit der Kettenregel. a) f(x) = (3 x 2 − 3) 12 c) f(x) = cos(3 x 2 − 5 x) b) f(x) = (2 − 6 x 2) 10 d) f(x) = sin(2 x 2 − 5) Substitutionsmethode Viele Integrale lassen sich durch die bekannten Regeln nicht berechnen. Oft hilft eine geeignete Substitution (Ersetzung). Den Beweis der Substitutionsmethode findet man auf Seite 282. Die Substitutionsmethode Ist f stetig und ist g differenzierbar, dann ist folgende Substitution möglich: x = g(u) bzw. dx = g‘(u)du ⇒ ∫ f(x)dx = ∫f(g(u)) · g‘(u)du Berechne durch Substitution. ∫ (7 x − 12) 12 dx Um „einfacher“ integrieren zu können, setzt man u = 7x − 12. Um auch dx zu substituieren, wird folgender Trick angewendet: u ‘ = du _ dx = 7 ⇒ dx = 1 _ 7 · du Durch Einsetzen erhält man: ∫ (7 x − 12) 12 dx = ∫u 12 · 1 _ 7 du = 1 _ 7 · u 13 _ 13 + c Setzt man nun wieder u = 7x − 12, erhält man ∫ (7 x − 12) 12 dx = (7 x − 12) 13 _ 91 + c Berechne durch Substitution. a) ∫ (3 x − 1) 8 dx d) ∫ (4 x − 8) 22 dx g) ∫ 1 _ 1 − 4 x dx b) ∫ (2 − 5 x) 19 dx e) ∫ (1 − 12 x) 23 dx h) ∫ 1 _ 3 − 5 x dx c) ∫ (3 − x) 5 dx f) ∫ 1 _ 2 x − 4 dx i) ∫ 1 _ (2 x − 3) 12 dx Kompetenzen Merke 39 40 Merke Muster 41 42 Ó Arbeitsblatt Substitution i2k5xg Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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