167 Schließende und beurteilende Statistik > Beurteilende Statistik Problem 1 Problem 2 1) Nullhypothese H 0 festlegen H 0beschreibt den Wert der zu beurteilenden Wahrscheinlichkeit p0. H 0: p 0 = 0,15 H 0: p 0 = 0,96 2) Alternativhypothese H 1 formulieren H 1beschreibt die Vermutung bezüglich H0. In diesem Kontext will der Kunde überprüfen, ob die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p für kaputte Eier größer als der angegebene Wert p 0 ist: H 1: p > 0,15 (rechtsseitiger Test) In diesem Beispiel will man überprüfen, ob die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p kleiner als der angegebene Wert p 0 ist: H 1: p < 0,96 (linksseitiger Test) 3) Maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α festlegen Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass man H 1annimmt und H0 nicht annimmt (verwirft), obwohl H0 richtig ist. Sie wird vereinbart. α = 0,05 α = 0,01 4) Annahmebereich (kritische Werte) für H 1 bestimmen Der Annahmebereich ist jener Wertebereich der Zufallsvariablen X, bei dessen Eintreten in der Stichprobe die Alternativhypothese H1angenommen wird. 0 2 0,1 4 6 8 10121416182022242628 P(x º 18) = 0,048 Annahmebereich 930 935 945 955 965 975 985 940 950 960 970 980 990 P(X ª 945,58) = 0,01 Annahmebereich Man geht von H 0 aus und bezeichnet mit X die Anzahl der zerbrochenen Eier in der Stichprobe. X ist binomialverteilt mit n = 80 und p 0 = 0,15. Jene Werte k von X für die gilt P(X ≥ k) ≤ 0,05 umfassen den Annahmebereich. Der Annahmebereich von H 1 liegt also am rechten Rand der Wahrscheinlichkeitsverteilung (rechtsseitiger Test). Durch Ausprobieren (mit Technologieeinsatz) erhält man: P(X ≥ 17) = 0,0837. k = 17 fällt also nicht in den Annahmebereich. P(X ≥ 18) = 0,048 (rote Fläche) k = 18 fällt in den Annahmebereich. Ebenso fallen auch alle k > 18 in den Annahmebereich. Dass die Anzahl der kaputten Eier in der Stichprobe größer oder gleich 18 ist, ist also unter der Angabe des Lieferanten (H 0) durchaus möglich, allerdings beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür weniger als die vereinbarte Irrtumswahrscheinlichkeit α = 5 %. In diesem Fall müsste man H 1 annehmen und H 0 verwerfen und würde sich mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als α = 5 %irren. Der Annahmebereich ist also X ≥ 18. 18 wird als kritischer Wert bezeichnet. Man geht von H 0 aus und bezeichnet mit X die Anzahl der zufriedenen Kunden in der Stichprobe. X ist binomialverteilt, kann aber durch eine Normalverteilung mit μ = 1000 · 0,96 = 960 und σ = 9 _____________ 1000 · 0,96 · 0,04 ≈ 6,20 angenähert werden. Jene Werte k von X für die gilt P(X ≤ k) ≤ 0,01 umfassen den Annahmebereich. Der Annahmebereich von H 1 liegt also am linken Rand der Dichtefunktion (linksseitiger Test). Die Berechnung (mit einem elektronischen Hilfsmittel) ergibt: P(X ≤ 945,58) ≤ 0,01 (rote Fläche). D.h. alle k ≤ 945 fallen in den Annahmebereich. Dass die Befragung weniger als 946 zufriedene Kunden ergibt, ist unter der Angabe des Lieferanten durchaus möglich, allerdings sehr unwahrscheinlich. Sind bei der Befragung also weniger als 946 Kunden zufrieden, so kann man H 1 annehmen und irrt sich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von α = 1 %. Der Annahmebereich ist also X ≤ 945. 945 wird als kritischer Wert dieses Tests bezeichnet. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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