164 Schließende und beurteilende Statistik > Schließende Statistik 7 Den Stichprobenumfang für ein Konfidenzintervall ermitteln Plant man eine Untersuchung mit Hilfe einer Stichprobe, so ist es von Vorteil, den Stichprobenumfang im Vorfeld zu ermitteln, da der Stichprobenumfang maßgeblich die Breite des Konfidenzintervalls der Abschätzung und die Kosten der Untersuchung bestimmt. Will man zum Beispiel die unbekannte Wahrscheinlichkeit p in einer Grundgesamtheit mit Hilfe eines Konfidenzintervalls [h − ε; h + ε] und mit der Sicherheit γ abschätzen, so kann man den geeigneten Stichprobenumfang mit Hilfe der Formel für das Konfidenzintervall bestimmen. Aus ε = z · 9 _ h · (1 − h) _ n kann man n berechnen: n = h · (1 − h) · z 2 _ ε 2 . Der Wert für z ergibt sich aus der gewünschten Sicherheit: z ≈ 1,96für γ = 0,95und z ≈ 2,575 für γ = 0,99. Der Wert für die halbe Konfidenzintervallbreite ε kann ebenfalls frei gewählt werden. Da man noch keine Stichprobe gezogen hat (da man deren Umfang n erst bestimmen will), kann man für h die relative Häufigkeit früherer Umfragen wählen, wenn man mit keiner großen Abweichung rechnet. Sollte für h noch kein Erfahrungswert existieren, so wählt man h = 0,5, da man dadurch n sicherheitshalber möglichst groß macht. Ermittlung des Stichprobenumfangs n Soll ein Konfidenzintervall die Breite 2 ε besitzen, so kann man den passenden Stichprobenumfang n mit folgender Formel berechnen: n = h · (1 − h) · z 2 _ ε 2 h = 0,5, falls keine Abschätzung für h bekannt ist ε … halbe Breite des gewünschten Konfidenzintervalls Φ(z) = 1 + γ _ 2 Eine Firma plant eine Befragung zur Zufriedenheit ihrer Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Sie will ein Ergebnis mit 99 %-iger Sicherheit und einer Konfidenzintervallbreite von 0,04. Wie viele Mitarbeiter sollte sie unter der in a) bzw. b) gegebenen Annahme befragen, um festzustellen, wie hoch der Anteil der „sehr zufriedenen“ Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter ist? a) Es wird aus Erfahrung angenommen, dass der Anteil der „sehr zufriedenen“ Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter bei ca. 78 % liegt. b) Die letzte Befragung ist schon so lange her, dass keine Annahme über den Anteil der „sehr zufriedenen“ Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter gemacht werden kann. a) n = 0,78 · (1 − 0,78) · 2,5752 _____________ 0,02 2 ≈ 2 844,5 Die Befragung müsste 2 845 Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter umfassen. b) Da keine Erfahrung über den Anteil vorliegt, nimmt man h = 0,5. n = 0,5 · (1 − 0,5) · 2,5752 ____________ 0,02 2 ≈ 4 144,1 Die Befragung müsste 4145 Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter umfassen. Merke Ó Technologie Anleitung Stichprobenumfang eines Konfidenzintervalls berechnen gc6r9u Muster 479 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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