159 Schließende und beurteilende Statistik > Schließende Statistik Also ist P(189,54 ≤ X ≤ 240,46)= 0,95. p min = 189,54 _ 1 000 ≈ 0 ,1 8 9 5 und p max = 240,46 _ 1 000 ≈ 0,2405 Das gesuchte 95 %-Konfidenzintervall lautet daher: [18,9 % ; 24,1 %]. Beachte: D ie Intervallgrenzen werden nicht mathematisch gerundet. Das Intervall wird zur Sicherheit an beiden Grenzen immer vergrößert. Mit Hilfe der Vereinfachungen kann man eine Formel zur Berechnung des y-Konfidenzintervalls herleiten (siehe Anhang Beweise, Seite 283). Formel zur Berechnung des (approximierten) γ-Konfidenzintervalls y-Konfidenzintervall für p = [h − z · 9 _ h · (1 − h) _ n ; h + z · 9 _ h · (1 − h) _ n ] ε = z · 9 _ h · (1 − h) _ n … Abweichung von h; die halbe Intervallbreite p … unbekannte (abzuschätzende) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Merkmals in der Grundgesamtheit h … relative Häufigkeit des Merkmals in der Stichprobe n … Umfang der Stichprobe Φ(z) = γ + 1 _ 2 z ≈ 1,96für γ = 0,95 z ≈ 2,575für γ = 0,99 γ … Sicherheit oder Vertrauensniveau des Konfidenzintervalls α = 1 − γ … Irrtumswahrscheinlichkeit Bei einer Kundenbefragung eines Telefonanbieters gaben 350 von 500 Kunden an, mit dem Service des Anbieters sehr zufrieden zu sein. Bestimme ein 0,99-Konfidenzintervall für den Anteil der sehr zufriedenen Kunden dieses Anbieters a) mit Hilfe der Standard-Normalverteilung. b) mit Hilfe der obigen Formel. a) h = 350 _ 500 = 0,7. Es wird eine Normalverteilung mit μ = 500 · 0,7 = 350und σ = 9 ___________ 500 · 0,7· 0,3= 10,25angenommen. P(350 − k ≤ X ≤ 350 + k)= 0,99 ⇒ F(350 + k) γ + 1 _ 2 = 0,99 + 1 _ 2 = 0,995(wobei F die Verteilungsfunktion der entsprechenden Normalverteilung ist). F(350 + k) = Φ( (350 + k) − 350 _ 10,25 ) = 0,995 = Φ(2,575) ⇒ (350 + k) − 350 _ 10,25 = 2,575 ⇒ k = 26,39 Man kann k ebenso mit einem elektronischen Hilfsmittel berechnen. Also ist P(323,61 ≤ X ≤ 376,39)= 0,99. p min = 323,61 _ 500 ≈ 0,647 und pmax = 376,39 _ 500 ≈ 0,752 Das gesuchte 99 %-Konfidenzintervall lautet daher: [64 % ; 76 %] b) γ-Konfidenzintervall für p = [h − z · 9 _ h · (1 − h) _ n ; h + z · 9 _ h · (1 − h) _ n ] = = [0,7 − 2,575 · 9 _ 0,7 · (1 − 0,7) _ 500 ; 0,7 + 2,575 · 9 _ 0,7 · (1 − 0,7) _ 500 ] ≈ [64 % ; 76 %] Bei einer Befragung von 1 000 Personen der Wahlberechtigten zeigen 215 Personen eine Präferenz für die Partei A. Berechne das 0,99-Konfidenzintervall der Präferenz für Partei A unter allen Wahlberechtigten 1) mit Hilfe der Standard-Normalverteilung. 2) mit Hilfe der Formel. Merke Muster 459 460 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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