154 Schließende und beurteilende Statistik > Schließende Statistik 7 Schätzbereiche für die relative Häufigkeit h in einer Stichprobe ermitteln Man weiß, dass der Frauenanteil an der österreichischen Bevölkerung p = 51 %beträgt. Wählt man nun eine zufällige Stichprobe von 250 Personen, so ist die Anzahl X der Frauen in dieser Stichprobe eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern μ = n · p = 250 · 0,51 = 127,5und σ = 9 ____________ 250 · 0,51 · 0,49 ≈ 7,90. Da σ > 3ist, kann man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung N (127,5; 7,90)annähern. Will man nun ein Intervall um μ ermitteln, in dem zum Beispiel mit der Wahrscheinlichkeit γ = 0,95(= Sicherheit des Schätzbereiches) die Anzahl der Frauen in der Stichprobe liegt, so sucht man zunächst ein k, das folgende Gleichung erfüllt: P(μ − k ≤ X ≤ μ + k) = 0,95 Die Variable k kann man mit Hilfe eines elektronischen Hilfsmittels ermitteln. Man erhält k = 15,48 ⇒ P(112,02 ≤ X ≤ 142,98)= 0,95. Der entsprechende Bereich in der Dichtefunktion der Normalverteilung ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet. Beachte: Die Intervallgrenzen werden nicht mathematisch gerundet. Das Intervall wird zur Sicherheit an beiden Grenzen immer vergrößert. Die Anzahl der Frauen liegt dann mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens γ = 0,95im Intervall [112; 143]. Als 0,95-Schätzbereich für die relative Häufigkeit h in der Stichprobe erhält man: 112 _ 250 ≤ h ≤ 143 _ 250. Der y-Schätzbereich von h für γ = 0,95ist daher: [0,448; 0,572] = [44,8 % ; 57,2 %]. Das bedeutet: Eine Stichprobe von 250 Personen aus Österreich wird mit 95 %-iger Wahrscheinlichkeit zwischen 44,8 % und 57,2 % Frauen enthalten. y-Schätzbereich für die relative Häufigkeit h in einer Stichprobe In einer Grundgesamtheit tritt ein Merkmal mit der Wahrscheinlichkeit p auf. Schätzt man nun die relative Häufigkeit dieses Merkmals in einer Stichprobe vom Umfang n, so bezeichnet der y-Schätzbereich ein symmetrisches Intervall um p, das die relative Häufigkeit h mit der Wahrscheinlichkeit γ enthält. γ bezeichnet die Sicherheit des Schätzbereiches. Interpretation des Schätzbereiches Würde man viele Stichproben vom Umfang n ziehen, so würde in ca. γ ·100 %der Stichproben die relative Häufigkeit des Merkmals in den Schätzbereich fallen. Anmerkungen – Für γ sind die Werte 0,95 und 0,99 üblich. – Es wird immer vorausgesetzt, dass in der Stichprobe die untersuchten Merkmale mit ähnlicher Wahrscheinlichkeit auftreten, wie in der Grundgesamtheit. In der Praxis ist die Auswahl einer passenden Stichprobe eine große Herausforderung. x 100 110 120 130 140 150 f 95 % bekanntes p in der Grundgesamtheit p = 0,51 0,448 0,572 0,95-Schätzbereich für h in der Stichporbe Ó Technologie Anleitung Schätzbereich bei Normalverteilung ermitteln 7c5ig3 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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