149 Weg zur Matura Normalverteilte Zufallsvariablen > Teil-2-ähnliche Aufgaben Teil-2-ähnliche Aufgaben Alte Stufen Jahrhunderte alte Steinstufen sind in der Mitte mehr abgenutzt als zu ihren Rändern hin. Eine Untersuchung an alten Treppen hat ergeben, dass die Abnutzung näherungsweise einer Normalverteilung unterliegt. Dabei bezeichnet die Zufallsvariable X die Entfernung (in Zentimeter cm) vom Mittelpunkt der Stufe. P(X = a) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass jemand in der Entfernung a auf die Stufe tritt. Ein positiver Wert von a bezeichnet eine Entfernung, die vom Mittelpunkt aus nach rechts gemessen wird und ein negativer Wert von a bezeichnet eine Entfernung, die vom Stufenmittelpunkt aus nach links gemessen wird. a) 1) Eine Stufe ist 90 cm breit. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als 40 cm vom Stufenmittelpunkt entfernt auf die Stufe tritt, beträgt 0,5 %. Bestimme einen symmetrischen Bereich um den Stufenmittelpunkt, auf den 90 % der Stufenbenutzer treten. b) 1) Es gilt die Annahme, dass durch jeden Tritt auf die Stufe an dieser Stelle 5 ·1 0−4 mm vom Steinmaterial der Stufe abgenutzt werden. Bestimme die Abnutzung der Stufe in einem 5 cm breiten symmetrischen Intervall um den Stufenmittelpunkt, wenn angenommen wird, dass X normalverteilt ist, mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 8 cm und wenn die Stufe bereits 100 000-mal betreten worden ist. c) 1) Die Halbwertsbreite einer Funktion mit einem lokalen Maximum ist die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten, für die die Funktionswerte auf die Hälfte des Maximums abgesunken sind. Zeige, dass die Halbwertsbreite der Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung 2 · 9 _2 ln (2) beträgt. d) 1) X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Φ ist die Verteilungsfunktion und φ ist die Dichtefunktion von X. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Φ(0,3) = 1 − Φ(0,7) B Φ(0) = : −1 0 φ(x)dx C P(− 0,5 ≤ X ≤ 0,5) = Φ(0,5) − Φ(− 0,5) D Φ(2) − Φ(1) = : 1 2 Φ(x)dx E P(− 1 ≤ X ≤ 0) = 0,5 − Φ(− 1) M 438 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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