148 Normalverteilte Zufallsvariablen > Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 6 X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable, die durch eine Normalverteilung angenähert wird. Ihr Erwartungswert ist 900 und ihre Standardabweichung ist 20. Φ ist die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Ordne die äquivalenten Ausdrücke einander zu. In der Abbildung sieht man den Graphen der Dichtefunktion φ einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Ein Würfel wird 1 000-mal geworfen. X bezeichnet die Anzahl der dabei auftretenden Würfe mit einer Augenzahl größer als 4. Veranschauliche in der Abbildung den Wert von P (X ≥ 311). Zusammenfassung Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X f(x) = 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x − μ _ σ ) 2 μ… Erwartungswert σ … Standardabweichung Die Schreibweise N (μ; σ) bezeichnet eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ. Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen Ist f die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen, dann heißt F(x) = P(X ≤ x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Standard-Normalverteilung φ(z) = 1 _ 9 2 π · e − 1 _ 2 z 2 … Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung N (0; 1) Φ(z) … Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung Transformationsgleichung: z = x − μ _ σ Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Binomialverteilung B (n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Normalverteilung N(μ; σ) mit μ = n · pund σ = 9 _n · p · (1 − p) an. (Satz von Moivre-Laplace) In der Praxis gilt die Approximation als ausreichend gut, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: n · p · (1 − p) ≥ 9oder σ = 9 _n · p · (1 − p) ≥ 3 436 437 x φ(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 φ x Graph von f(x) f μ μ + σ μ – σ x F(x) F 1 μ 1 2 · Φ(3) − 1 A P(X ≤ 900) 2 1 − Φ(− 1) B P(X ≥ 920) 3 Φ(3) C P(840 < X < 960) 4 1 − Φ(1) D P(X ≤ 860) 5 Φ(− 2) 6 Φ(0) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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