146 Normalverteilte Zufallsvariablen > Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 6 Aus Erfahrung hat sich folgende „Faustregel“ bewährt: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Binomialverteilung B (n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Normalverteilung N(μ; σ) mit μ = n · pund σ = 9 _n · p · (1 − p) an. (Satz von Moivre-Laplace) In der Praxis gilt die Approximation als ausreichend gut, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: σ 2 = n · p · (1 − p) ≥ 9oder σ = 9 _n · p · (1 − p) ≥ 3 Kreuze alle Binomialverteilungen B (n; p) an, bei denen eine Annäherung durch eine Normalverteilung zulässig ist. a) A B(100; 0,9) B B(100; 0,09) C B(20; 0,5) D B(200; 0,5) E B(1 000; 0,01) b) A B(3 000; 0,5) B B(3 000; 0,09) C B(3 000; 0,09) D B(2 000; 0,1) E B(500; 0,01) Vervollständige den Satz so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Die Binomialverteilung (1) darf durch die Normalverteilung (2) approximiert werden. (1) (2) B(1 800; 0,1) N(180; 8,49) B(600; 0,3) N(180; 13,41) B(300; 0,6) N(180; 0,72) In einer Stadt gibt es erfahrungsgemäß 5 % Schwarzfahrer. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 1 000 kontrollierten Personen a) höchstens 50 Schwarzfahrer findet. b) mindestens 30 Schwarzfahrer findet. c) zwischen 30 und 60 Schwarzfahrer findet. d) genau 50 Schwarzfahrer findet. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der Schwarzfahrer unter 1 000 kontrollierten Personen. X ist binomialverteilt. Da σ = 9 _________________ 1 000 · 0,05 · (1 − 0,05) ≈ 6,89ist, kann man die Berechnungen durch eine Normalverteilung N (50; 6,89)approximieren. a) P(X ≤ 50)= 50 % b) P(X ≥ 30) ≈ 99,8 % c) P(30 ≤ X ≤ 60) ≈ 92 % d) 1. Art: Diese Fragestellung lässt sich eigentlich nicht mit der Approximation berechnen, da die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert der Zufallsvariablen bei der Normalverteilung immer 0 ist. Man muss daher auf die Binomialverteilung zurückgreifen. P(X = 50) = ( 1 000 50) · 0,0550 · 0,095950 = 0,0578 ≈ 5,8 % 2. Art: Durch die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (49,5 < X < 50,5) mit Hilfe der Normalverteilung N(50; 6,89), kann man eine Approximation erreichen. Die Berechnung ergibt: P (49,5 < X < 50,5) = 5,8 % Merke 425 426 Muster 427 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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