145 Normalverteilte Zufallsvariablen > Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Kreuze die binomialverteilte(n) Zufallsvariable(n) X an. A Aus einer Urne mit roten und weißen Kugeln wird 100-mal mit Zurücklegen gezogen. X bezeichnet die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln. B Eine Münze wird dreimal geworfen. X bezeichnet die Anzahl der Versuche, bei denen die Münze „Kopf“ zeigt. C Aus einer Klasse werden zufällig fünf Personen für eine Mannschaft ausgewählt. X bezeichnet die Anzahl der ausgewählten Buben. D Eine Maschine produziert Radierer mit 1 % Ausschuss. X bezeichnet die Anzahl der Ausschussteile in einer Lieferung von 50 Radierern. E In einer Lieferung von 50 Stück befinden sich 10 kaputte Radierer. Es wird eine Stichprobe von 5 Stück entnommen. X bezeichnet die Anzahl der defekten Radierer. Zeichnet man die Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariablen X als Balkendiagramm, in dem jedem Wert der Zufallsvariablen ein Balken mit der Breite 1 und der entsprechenden Wahrscheinlichkeit als Höhe zugeordnet wird, so erhält man ein Histogramm (d.h. der Flächeninhalt der einzelnen Balken entspricht den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, vgl. Kap 5 S. 113). Die Wahrscheinlichkeiten der binomialverteilten Zufallsvariablen X können somit als Flächeninhalte dargestellt werden. In der Abbildung ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit n = 50und p = 0,6dargestellt (B(50; 0,6)). Der blaue Flächeninhalt entspricht der Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 34). Es fällt auf, dass die Form des Histogramms einer Gauß’schen Glockenkurve ähnlich ist. Und tatsächlich liefert der Graph der Dichtefunktion der Normalverteilung mit μ = n · p = 50 · 0,6 = 30und σ = 9 _n · p · (1 − p) = 9 _50 · 0,6 · 0,4= 3,46eine recht gute Annäherung an das Histogramm. Die Berechnung von P (X ≤ 34) mit Hilfe der Binomialverteilung B(50; 0,6) liefert folgendes Ergebnis: P(X ≤ 34) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = 34) ≈ 0,9045 ≈ 90 % Die Berechnung von P (X ≤ 34) mit Hilfe der Normalverteilung N (30; 3,46)liefert folgendes Ergebnis: P(X ≤ 34) ≈ 0,8762 ≈ 88 % Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist schon recht gut. Diese wird umso besser, je größer der Parameter n der Binomialverteilung wird. Das kann man an folgender Tabelle mitverfolgen: n Berechnung mit Binomialverteilung B(n; 0,6) Berechnung mit Normalverteilung N(n · 0,6; 9 _ n · 0,6 · 0,4 ) Differenz der Wahrscheinlichkeiten 100 P(X ≤ 61) = 0,6178 P(X ≤ 61) = 0,5809 0,0369 1 000 P(X ≤ 610) = 0,7507 P(X ≤ 610) = 0,7407 0,01 10 000 P(X ≤ 6500) = 0,980 P(X ≤ 6100) = 0,9794 0,0006 424 x P(x) 8 16 24 32 34 40 48 0,1 0 B(50; 0,6) x P(x) 8 16 24 32 34 40 48 0,1 0 B(50; 0,6) N(30; 3,40) Ó Technologie Darstellung Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung sk62cj Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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