144 6.4 Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Lernziele: º Die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren können º Die Bedingung für eine zulässige Approximierung der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung kennen º Mit der Normalverteilung, auch in anwendungsorientierten Bereichen, arbeiten können (WS-L 3.5) Die Binomialverteilung Ein Versuch wird n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt und das Ereignis E („Erfolg“) tritt dabei immer mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Bezeichnet die Zufallsvariable X die Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis E eintritt, gilt für die Wahrscheinlichkeit P(X = k): P(X = k) = ( n k) · p k · (1 − p) n−k mit 0 ≤ p ≤ 1und k = 0, 1, 2, 3, …, n Die diskrete Zufallsvariable X heißt dann binomialverteilt. Für den Erwartungswert μ einer binomialverteilten Zufallsvariablen gilt: μ = n · p Für die Standardabweichung σ einer binomialverteilten Zufallsvariablen gilt: σ = 9 _n · p · (1 − p) In einer Urne sind 60 rote und 40 weiße Kugeln. Es wird zehnmal mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. a) Beurteile, ob X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist. b) Zeichne das Liniendiagramm zur Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. c) Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung von X und interpretiere den Erwartungswert. Ein Test besteht aus 80 Fragen mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Die Antworten werden zufällig angekreuzt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mindestens 30 Fragen richtig zu beantworten. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, zwischen 10 und 20 Fragen richtig zu beantworten. c) Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Kompetenzen Merke 422 Ó Technologie Anleitung Binomialverteilung m7tk4u 423 Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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