142 Normalverteilte Zufallsvariablen > Bestimmung von Parametern der Normalverteilung 6 Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit N (μ; σ). Bestimme den Wert für k. a) N(200; 4); P(X ≤ k) = 0,34 d) N(3283; 34,1); P(X ≥ k) = 0,05 b) N(167; 8); P(X ≥ k) = 0,34 e) N(193; 1); P(μ − k ≤ X ≤ μ + k) = 0,99 c) N(23; 7); P(X ≤ k) = 0,995 f) N(82,2; 2,3); P(μ − k ≤ X ≤ μ + k) = 0,9 Grenze x des bestimmten Integrals : −∞ x 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x−μ _ σ ) 2 dx = pberechnen Geogebra (im CAS-Fenster): Normal(μ; σ; x) = p numerisch lösen Beispiel: Normal(505; 10; x) = 0,1 numerisch lösen: x = 492,18 TI-Nspire: invNorm(p, μ, σ) Beispiel: invNorm(0,1, 505, 10) ≈ 492,18 Casio: invNormCDf(p, μ, σ) Beispiel: invNormCDf(0,1, 505, 10) = 492,18 Gegeben ist eine N (μ; σ)-verteilte Zufallsvariable X. Bestimme ein symmetrisches Intervall [a; b] um den Erwartungswert, dessen Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von γ angenommen werden (P (a ≤ X ≤ b) = γ). a) N(381; 14); γ = 0,95 c) N(1000; 15,23); γ = 0,90 e) N(38; 4); γ = 0,90 b) N(0; 1); γ = 0,99 d) N(398; 5,6); γ = 0,95 f) N(5,2; 0,82); γ = 0,99 Das Gewicht einer Gruppe von Personen ist normalverteilt mit μ = 78 kgund σ = 2,1 kg. Welches a) Mindestgewicht b) Maximalgewicht haben 75 % der Personen? c) In welchen symmetrischen Bereich um den Erwartungswert fällt das Gewicht von 99 % der Personen? d) Als Normalgewicht definiert man einen Gewichtsbereich symmetrisch um den Erwartungswert, den 80 % der Personen erreichen. Berechne das Intervall für das Normalgewicht. Die Wartezeit in der Telefonwarteschleife eines Amtes (in Minuten) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 3,5 und der Standardabweichung 1,1. Wie lange müssen 90 % aller Anrufer und Anruferinnen a) mindestens b) höchstens warten? c) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegen 50 % aller Wartezeiten? Die Länge von Holzstiften ist normalverteilt mit N (μ; σ). Als Ausschuss werden jene a % der Stifte festgelegt, die um mehr als einen bestimmten Wert vom Erwartungswert der Länge abweichen. Bestimme jene Stiftlängen, die als Ausschuss aussortiert werden. a) N(300; 10); a = 5 b) N(43; 3,4); a = 10 c) N(5000; 23,2); a = 1 Berechnung des Erwartungswertes μ einer normalverteilten Zufallsvariablen Eine Maschine füllt Zuckerpackungen ab. Die Abfüllmenge X ist normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 10 g. Man weiß, dass 75 % aller Packungen mehr als 490 g wiegen. Bestimme den Erwartungswert μ der Abfüllmenge. Es ist f mit f(x) = 1 _ 9 2 π ·σ · e − 1 _ 2( x − μ _ σ ) 2 die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X. Für den gesuchten Erwartungswert muss gelten P (X ≥ 490)= 0,75. Mit einem elektronischen Hilfsmittel löst man folgende Gleichung nach der Variablen μ auf: : 490 ∞ 1 _ 9 2 π · 10 · e − 1 _ 2( x − μ _ 10 ) 2 dx = 0,75. Man erhält μ = 496,74. Der gesuchte Erwartungswert der Abfüllmenge beträgt ca. 497g. 409 Technologie Ó Technologie Anleitung Integralgrenzen berechnen i683xn 410 411 412 413 Muster 414 x 440 460 480 500 520 540 f P (X º 490) = 0,75 μ = 497 Ó Technologie Anleitung Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen je95zq Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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