141 6.3 Bestimmung von Parametern der Normalverteilung Lernziele: º Intervalle einer normalverteilten Zufallsvariablen berechnen können º Ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall bei gegebener Wahrscheinlichkeit angeben können º Die Parameter μ und σ einer normalverteilten Zufallsvariablen berechnen können º Mit der Normalverteilung, auch in anwendungsorientierten Bereichen, arbeiten können (WS-L 3.5) Bei der Berechnung einer Wahrscheinlichkeit P (X ≤ a) einer normalverteilten Zufallsvariablen treten vier Größen auf: P, a, μ und σ. Prinzipiell ist es also notwendig, dass drei dieser Größen bekannt sind, um die vierte Größe eindeutig ermitteln zu können. Es sind somit, je nachdem welche Größen gegeben sind, vier verschiedene Aufgabentypen möglich. In diesem Kapitel werden die noch nicht bearbeiteten Aufgabentypen betrachtet. Berechnung von Intervallen einer normalverteilten Zufallsvariablen Eine Maschine füllt Zuckerpackungen ab. Die Füllmenge X (in Gramm g) wird als normalverteilt mit N(505; 10)angenommen. a) Welches Mindestgewicht haben 90 % der Packungen? b) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegen 95 % der Packungen? a) Es wird die Füllmenge gesucht, über der 90 % der Packungen liegen. Man sucht also ein k, für das gilt P(X ≥ k) = 0,9. Bezeichnet f mit f(x) = 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x−μ _ σ ) 2 die Dichtefunktion von X, so kann man k ermitteln, indem man mit einem elektronischen Hilfsmittel die Gleichung : k ∞ f(x)dx = 0,9 nach k auflöst. Der Wert von k beträgt k = 492,18. Alternativ kann man auch die Gleichung : −∞ k f(x)dx = 0,1 lösen. Man erhält ebenfalls k = 492,18. 90 % der Packungen haben mindestens 492 g. b) Man sucht für X ein Intervall [505 − k; 505 + k], in dem 95 % der Packungen liegen. Mit einem elektronischen Hilfsmittel löst man die Gleichung : 505 − k 505 + k f(x)dx = 0,95. Man erhält k = 19,60. Alternativ kann man auch die Gleichung : −∞ a f(x)dx = 0,025 lösen. Man erhält a = 485,40. Das gesuchte Intervall lautet: [505 − 19,60; 505 + 19,60] = [485,40; 524,60] Kompetenzen Muster 408 Ó Vertiefung Anleitung zur Berechnung mit Hilfe der Standardnormalverteilung y9bb2dÓ Technologie Anleitung Intervalle einer Normalverteilung berechnen m68ha8 x 485 495 505 505 – k 505 + k 465 475 515 525 535 μ P (μ – k ª X ª μ + k) = 0,95 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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