140 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Standard-Normalverteilung Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 10 und der Standardabweichung 2. Φ ist die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Ordne die äquivalenten Ausdrücke einander zu. 1 2 · Φ(1) − 1 A P(X ≤ 8) 2 Φ(− 2) B P(X ≥ 14) 3 Φ(1) C P(8 ≤ X ≤ 12) 4 1 − Φ(1) D P(X ≤ 6) 5 Φ(6) 6 Φ(2) Drücke die angegebene Wahrscheinlichkeit für die N (μ; σ)-verteilte Zufallsvariable X nur mit Hilfe 1) der passenden Dichtefunktion f aus. 2) der passenden Verteilungsfunktion F aus. 3) der Dichtefunktion φ der Standard-Normalverteilung aus. 4) der Verteilungsfunktion Φ der Standard-Normalverteilung aus. a) P(X ≤ a) b) P(X ≥ a) c) P(a ≤ X ≤ b) An welcher Stelle findet man in der N (0; 1)-Tabelle die Wahrscheinlichkeit des a) 1 σ-Intervalls? b) 2 σ-Intervalls? c) des 3 σ-Intervalls? Zeige mit Hilfe der Standard-Normalverteilung, dass für alle normalverteilten Zufallsvariablen Folgendes gilt: P(μ − σ < X < μ + σ) = 68,27% Berechne die Aufgaben 353 bis 358 mit Hilfe der Standard-Normalverteilung. Umkehraufgaben Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 40und der Standardabweichung σ = 23. Bestimme den Wert von a. a) P(X ≤ a) = 0,8 c) P(40 − a ≤ X ≤ 40 + a) = 0,5 b) P(X ≥ a) = 0,44 d) P(X < 40 + a) = 0,67 Die Masse einer bestimmten Muschelart ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 256 g und der Standardabweichung 14 g. a) Welche Masse überschreiten 40 % aller Muscheln? b) Die 10 % der Muscheln, die die kleinste Masse haben, nennt man „Minimuscheln“. Bis zu welcher Masse gehört eine Muschel zu den Minimuscheln? c) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegt die Masse von 80 % aller Muscheln? Auf einer Zielscheibe sind die Abstände (in Zentimeter) der Treffer vom Mittelpunkt der Zielscheibe N(30; 10)-verteilt. In welchem Abstand vom Mittelpunkt muss man treffen, dass der Treffer zu a) den besten 10 % b) zu den schlechtesten 25 % c) zu den mittleren 30 % zählt? WS-R 3.4 400 401 402 403 404 Ó Arbeitsblatt Umkehraufgaben mit Standard- Normalverteilung 38bj5i 405 406 407 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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