139 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Standard-Normalverteilung Es ist X zum Beispiel eine normalverteilte Zufallsvariable mit μ = 12und σ = 3. Will man die Wahrscheinlichkeit für P(X ≤ 7,5) ohne Technologieeinsatz bestimmen, geht man in folgenden drei Schritten vor: 1) Man überlegt, wie man die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion F bestimmen würde: P(X ≤ 7,5) = F(7,5) 2) Man standardisiert den Wert der Verteilungsfunktion: z = x − μ _ σ = 7,5 − 12 _ 3 = − 1,5 3) Da F(7,5) = Φ(− 1,5) gilt, ermittelt man den Wert von Φ(− 1,5) mit Hilfe der N (0; 1)-Tabelle und erhält die gesuchte Wahrscheinlichkeit: 4) P(X ≤ 7,5) = F(7,5) = Φ(− 1,5) = 0,0668 Hinweis zur Bedeutung des transformierten z-Wertes Der bei der Transformation von x = 7,5erhaltene z-Wert z = − 1,5hat die Bedeutung, dass der Wert x = 7,5im Abstand 1,5 · σ unter dem Erwartungswert μ = 12liegt. Diesen allgemeingültigen Zusammenhang kann man an folgender Umformung der Transformationsgleichung erkennen: z = x − μ _ σ ⇒ x − μ = z · σ Der Wert von z gibt also den Abstand x vom Erwartungswert μ in Vielfachen von σ an. Eine Maschine erzeugt Nägel, deren Länge X (in Millimeter) N (50; 3)-normalverteilt ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Standard-Normalverteilung. a) P(45 ≤ X) b) P(45 ≤ X ≤ 52) a) P(45 ≤ X) = 1 − F(45) = 1 − Φ(45 − 50 _ 3 ) ≈ 1 − Φ(− 1,67) = 1 − 0,0475 = 0,9525 = 95,25 % b) P(45 ≤ X ≤ 52) = F(52) − F(45) = Φ(52 − 50 _ 3 ) − Φ( 45 − 50 _ 3 ) ≈ Φ(0,67) − Φ(− 1,67) = 0,7486 − 0,0475 = 0,7011 = 70,11 % Das Gewicht (in Gramm g) einer Apfelsorte ist normalverteilt mit μ = 65 gund σ = 20 g. Bestimme mit Hilfe der Standard-Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel a) mehr als 80 g wiegt. c) zwischen 40 g und 65 g wiegt. b) maximal 70 g wiegt. d) mindestens 60 g wiegt. Die Haltbarkeit (in Tagen) einer Obstsorte ist normalverteilt mit N (15; 1). Bestimme mit Hilfe der Standard-Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass das Obst a) weniger als 13 Tage hält. c) mindestens 10 Tage hält. b) maximal 14 Tage hält. d) zwischen 13 und 17 Tage hält. Die Länge L von Wollfäden (in Meter) ist N (30; 0,1)-verteilt. Berechne die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Standard-Normalverteilung und interpretiere den Wert. (Verwende dabei die Begriffe „mindestens“ bzw. „höchstens“.) a) P(30,2 ≤ L) c) P(29,9 ≤ L ≤ 30) e) P(33 ≤ L) b) P(L ≤ 29,8) d) P(L ≤ 30,4) f) P(29,7 ≤ L ≤ 29,8) x 2 4 6 8 10121416182022 f F(7,5) = 0,0668 x φ(x) 0 –5–4–3–2–1 1 2 3 4 5 φ Φ(–1,5) = 0,0668 z 12 –1,5 μ μ – 2 σ μ – 1 σ μ + 1 σ μ + 2 σ z-Skala –2 –1 0 1 2 x-Skala für normalverteilte Zufallsvariablen X mit μ = 12 und σ = 3 Zufallsvariablen mit μ und σ x-Skala allgemein für normalverteilte 12 – 1,5 · 3 = 7,5 Muster 396 397 398 399 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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