138 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Standard-Normalverteilung 6 Φ bezeichnet die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Berechne den Wert des Terms: Φ(1,23) + Φ(− 0,36) = Φ(− 2,1) − Φ(− 2,3) = 2 · Φ(1) = X ist eine N (0; 1)-verteilte Zufallsvariable. Bestimme mit Hilfe der Φ-Tabelle den Wert der Wahrscheinlichkeit. a) P(X ≤ 2) c) P(X ≤ − 0,53) e) P(− 1 ≤ X ≤ 1) g) P(− 2 ≤ X ≤ 0) b) P(X ≥ 2) d) P(X ≥ − 2,13) f) P(− 0,34 ≤ X ≤ 0,34) h) P(0 ≤ X ≤ 1) φ ist die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Ergänze die Textteile durch Ankreuzen so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Der Graph von φ hat an der Stelle (1) die (2) . Warum ist die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung nur für z Werte von − 3,00 bis 3,00 tabelliert? Stelle eine begründete Vermutung an. Umkehraufgaben Bestimme den Wert von z, für den gilt Φ(z)= 0,89. Man sucht in der z-Spalte der Φ-Tabelle den Wert, der dem Wert 0,89 am nächsten liegt. Nun liest man z ab: z = 1,23 Bestimme den Wert von z. a) Φ(z) = 0,05 b) Φ(z) = 0,99 c) Φ(z) = 0,95 d) Φ(z) = 0,5 e) Φ(z) = 0,67 Bestimme den Wert von z. a) D(z) = 0,95 b) D(z) = 0,99 c) D(z) = 0,90 d) D(z) = 0,975 Die Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariablen Um mit Hilfe der standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z die Wahrscheinlichkeiten von normalverteilten Zufallsvariablen X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ zu bestimmen, muss man die Werte x der N (μ; σ)-Verteilung in z-Werte einer N (0; 1)-Verteilung transformieren. Die Transformation wird durch die Gleichung z = x − μ _ σ beschrieben (= Standardisierung). x und z besitzen durch diese Transformation die Eigenschaft F(x) = Φ(x − μ _ σ ), also gilt: P(X ≤ x) = P(Z ≤ z). Dadurch kann man die Werte aller N (μ; σ) Verteilungsfunktionen in der Tabelle der N(0; 1)- Verteilungsfunktion ablesen. 389 390 391 (1) (2) − 2 kleinste Steigung 1 größte Steigung 2 Steigung 0 » 392 Muster 393 z Φ(− z) Φ(z) D(z) 1,22 1112 8888 7775 1,23 1093 8907 7813 1,24 1075 8925 7850 394 395 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==