137 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Standard-Normalverteilung Im Anhang auf Seite 284 findest du die Tabelle der Verteilungsfunktion Φ einer N(0; 1)-verteilten Zufallsvariablen Z. Es ist üblich, den Wert der standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z mit z zu bezeichnen. Die Verwendungsmöglichkeiten der Φ-Tabelle werden an drei Beispielen erläutert. Wahrscheinlichkeit durch Verteilungsfunktion Φ ausdrücken graphische Veranschaulichung der Wahrscheinlichkeit Aus der Φ-Tabelle auf Seite 284 den Wert ermitteln Ergebnis P(Z ≤ 1,23) = Φ(1,23) z Φ(− z) Φ(z) D(z) P(Z ≤ 1,23) = 0,8907 1,22 1112 8888 7775 1,23 1093 8907 7813 1,24 1075 8925 7850 P(Z ≤ − 1,23) = = Φ(− 1,23) z Φ(− z) Φ(z) D(z) P(Z ≤ − 1,23) = = 0,1093 1,22 1112 8888 7775 1,23 1093 8907 7813 1,24 1075 8925 7850 P(− 1,23 ≤ Z ≤ 1,23) = = D(1,23) z Φ(− z) Φ(z) D(z) P(− 1,23 ≤ Z ≤ 1,23) = = 0,7813 1,22 1112 8888 7775 1,23 1093 8907 7813 1,24 1075 8925 7850 Um Φ(1,23) zu berechnen, sucht man in den z-Spalten den Wert z = 1,23. Danach liest man daneben in der Φ(z)-Spalte den entsprechenden Wert ab. Von den Φ-Werten in der Tabelle sind aus Platzgründen nur die Dezimalstellen angegeben („8907“ ≙ 0,8907). So erhält man Φ(1,23)= 0,8907. Ebenso kann man mit Hilfe der Spalte Φ(− z) den Wert der Verteilungsfunktion für negative z-Werte ermitteln: Φ(− 1,23) = 0,1093. In der Spalte D (z) kann man den Wert für ein symmetrisches Intervall um μ = 0ablesen. D (1,23) = Φ(− 1,23 ≤ X ≤ 1,23) = 0,7813 Zeige graphisch oder rechnerisch, dass folgende Beziehung gilt: a) Φ(− z) = 1 − Φ(z) b) D(z) = 2Φ(z) − 1 Z ist eine N(0; 1)-verteilte Zufallsvariable. Bestimme mit Hilfe der Φ-Tabelle den Wert der Wahrscheinlichkeit. a) P(Z ≤ − 1,12) b) P(Z ≥ 2,34) c) P(− 0,5 ≤ Z ≤ 0,5) a) P(Z ≤ − 1,12) = Φ(− 1,12) = (nachschauen in der Tabelle) = 0,1314 b) P(Z ≥ 2,34) = 1 − P(Z < 2,34) = 1 − Φ(2,34) = Tabelle ⎯ → = 1 − 0,9904 = 0,0096 c) P(− 0,5 ≤ Z ≤ 0,5) ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert 0. Die Wahrscheinlichkeit entspricht dem Tabellenwert von D(0,5) = 0,3829. X ist eine N(0; 1)-verteilte Zufallsvariable. Bestimme mit Hilfe der Φ-Tabelle den Wert der Verteilungsfunktion. Schreibe den erhaltenen Wert als Wahrscheinlichkeit an und stelle ihn graphisch mit Hilfe der Dichtefunktion φ dar. a) Φ(1) c) Φ(2,1) e) Φ(0,23) g) Φ(1,96) b) Φ(− 2) d) Φ(− 2,9) f) Φ(− 0,76) h) Φ(− 2,61) x φ Φ(1,23) –1,23 0 1,23 x φ Φ(–1,23) –1,23 0 1,23 x φ D(1,23) –1,23 0 1,23 386 Muster 387 388 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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