136 6.2 Die Standard-Normalverteilung Lernziele: º Die Eigenschaften von normalverteilten Zufallsvariablen kennen º Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Standard-Normalverteilung berechnen können º Normalverteilte Zufallsvariablen standardisieren können º Mit der Tabelle der Standard-Normalverteilung umgehen können º Mit der Normalverteilung, auch in anwendungsorientierten Bereichen, arbeiten können (WS-L 3.5) Da die Stammfunktion der Dichtefunktion f einer normalverteilten Zufallsvariablen X nicht angegeben werden kann, ist die Integration und damit die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ohne Technologieeinsatz sehr schwierig. Um diese Berechnungen auch ohne Technologie zu ermöglichen, verwendet man die Standard-Normalverteilung. N(0; 1), die Normalverteilung mit den Parametern μ = 0und σ = 1, nennt man StandardNormalverteilung. Ihre Dichtefunktion wird mit φ(x) und ihre Verteilungsfunktion mit Φ(x) bezeichnet. Mit Hilfe der Standard-Normalverteilung N (0; 1) kann man die Wahrscheinlichkeiten von allen anderen N (μ; σ)-verteilten Zufallsvariablen berechnen. Die Standard-Normalverteilung Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert μ = 0und der Standardabweichung σ = 1, so wird ihre Dichtefunktion mit φ und ihre Verteilungsfunktion mit Φ bezeichnet. φ(x) = 1 _ 9 2 π · e − 1 _ 2 x 2 Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Φ ist die Verteilungsfunktion von X. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. Φ ist die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. Kompetenzen Merke x φ(x) 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0,1 0,2 0,3 0,4 0 φ 384 A Φ(− 1) = 1 + Φ(1) B Φ(0) = 0 C P(− 1 ≤ X ≤ 1) = Φ(1) − Φ(− 1) D Φ(3) = Φ(2) + Φ(1) E P(0 ≤ X ≤ 1) = Φ(1) − 0,5 385 A Φ(x) = Φ(− x) B 1 − Φ(− x) = Φ(x) C 2Φ(x) − 1 = Φ(x) − Φ(− x) D 1 − Φ(x) = Φ(− x) E Φ(0) = 0,5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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